Por experiência pessoal (embora não com os EUA), eu tinha um visto Schengen atual em um dos meus passaportes quando recebi minha cidadania americana. Na minha próxima viagem à Europa, usei meu passaporte americano, apesar de ter outro passaporte com um visto válido, válido para o propósito da visita. Ninguém fez perguntas.
Agora, em relação aos EUA, não encontrei nenhuma informação específica sobre isso nos FAMs ou no site do DoS sobre isso. Assim minha resposta seria mais de uma especulação de conclusão, e seria " não, você não seria obrigado a usar um passaporte específico para entrar nos EUA" simplesmente porque você ter um visto nesse passaporte. Considere o caso típico em que o passaporte com o visto não está mais em sua posse porque foi substituído / perdido / danificado.
Curiosamente, o formulário de pedido de visto dos EUA nem sequer pergunta sobre todas as suas nacionalidades.