Esta resposta assume que o OP ainda pretende viajar para Atlanta, mas com alguns dias permanecer no Reino Unido.
Se o OP não alterar o itinerário antecipadamente, pode haver vários problemas.
Com apenas uma parada de 3 horas no LHR, é muito improvável que o OP seja capaz de obter as malas marcadas para o LHR. Será muito semelhante a um voo "cidade oculta" , e o conselho habitual é apenas para bagagem de mão.
O OP ainda terá que obter um bilhete em Londres para o dia da viagem. O original provavelmente será cancelado quando o OP não embarcar. A compra do novo bilhete deve ser feita com antecedência, para que o OP tenha um bilhete de saída, se questionado pela imigração, e para qualquer oportunidade de preços de compra antecipada. O novo bilhete deve ser completamente separado do anterior, para reduzir o risco de cancelamento após a não comparência.
Se o OP organizar a escala antecipadamente, tudo deve correr bem.
Quando o OP fizer o check-in em Mumbai, não haverá voo de conexão imediato, portanto, as malas serão verificadas naturalmente no LHR na primeira perna. Ao passar pela imigração, o OP terá um visto de visitante, um plano para alguns dias de turismo ou similar no Reino Unido e um ingresso, consistente com esse plano, para o vôo para Atlanta.
Quando o OP retornar ao LHR para a segunda perna, as malas serão verificadas em Atlanta.
Haverá algum custo adicional, mas é provável que seja menor do que o custo de um novo bilhete London > Atlanta, especialmente se o novo ingresso tiver que ser comprado com tarifa integral ou próximo a ele.