Bem, existem muitas soluções para a primeira equação. Nós apenas temos que encontrar um que faça sentido fisicamente. Uma das soluções para essa equação tem obviamente * a forma:
$ \ gamma (\ theta) = 2 V \ \ infty \ alpha \ cdot \ frac {\ cos {\ theta} - \ cos {\ theta_0}} {\ sin {\ theta}} $
Agora, escolha um valor para $ \ theta_0 $ que satisfaça a condição Kutta . A única solução é $ \ theta_0 = \ pi $. Portanto,
$ \ gamma (\ theta) = 2 V \ \ infty \ alpha \ cdot \ frac {1 + \ cos {\ theta}} {\ sin {\ theta}} $
Você pode verificar a solução substituindo $ \ gamma (\ theta) $ na equação original. As identidades
- $ \ int_0 ^ \ pi \ frac {1} {\ cos {\ theta} - \ cos {\ theta_0}} d \ theta $ = 0
e - $ \ int_0 ^ \ pi \ frac {\ cos {\ theta}} {cos {\ theta} - \ cos {\ theta_0}} d \ theta = \ pi $
deve ser suficiente para fazer o teste. Estas integrais não são as mais fáceis, então você precisaria encontrá-las em um livro com identidades trigonométricas. Lá, o segundo aparece frequentemente na forma geral $ \ frac {1} {\ pi} \ cdot \ int_0 ^ \ pi \ frac {\ cos {n \ theta}} {cos {\ theta_0} - \ cos {\ theta}} d \ theta = - \ frac {\ sin {n \ theta_0}} {\ sin {\ theta_0}} $.
Se você quiser uma solução mais formal, peço no link .
* A integração de constantes é fácil. Portanto, eu transformo a expressão dentro da integral em uma constante. $ g (\ theta) * f (\ theta) = C_1 \ Rightarrow g (\ theta) = \ frac {C_1} {f (\ theta)} $. Nesse caso, $ f (\ theta) = \ frac {\ sin {\ theta}} {\ cos {\ theta} - \ cos {\ theta_0}} $