Porque Tony Stark o convenceu.
E não apenas com a promessa de um novo traje. Há duas coisas que Tony faz para convencer Peter a vir ajudar.
O primeiro envolve a versão de Peter de "Com grande poder vem uma grande responsabilidade" que ele diz para Tony Stark;
"When you can do the things that I can, but you don't, and then the bad things happen? They happen because of you."
Peter Parker, Capitão América: Guerra Civil
Uma primeira leitura disso parece sugerir que Peter ficaria do lado de Steve Rogers nos Acordos de Sokovia (e de todas as informações que eu acredito que ele faria), mas não é assim que Tony enxerga isso. Para Tony, Peter está dizendo que ele tem uma chance de garantir que não mais pessoas inocentes (como o filho de Miriam Sharpe) morram graças ao descuido dos Vingadores, e por não tentar garantir que os Acordos de Sokovia sejam assinados, da próxima vez uma pessoa inocente morre, é culpa dele. Vemos isso mais tarde, quando Peter confronta Steve Rogers;"He told me that you're wrong, but you think you're right. And that makes you dangerous."
Peter Parker, Capitão América: Guerra Civil
Isso indica que Tony basicamente convenceu Peter da mesma coisa em que ele acredita - que a coisa responsável a fazer é garantir que os Acordos de Sokovia sejam assinados, para que a próxima "coisa ruim" que acontece não seja culpa deles.
Mas isso não é tudo. Mesmo que Pedro queira ajuda, ele mesmo admite que não pode.
"I can't go to Germany! I got... homework. "
Peter Parker, Capitão América: Guerra Civil
Nesse momento, Tony ameaça revelar a tia May que Peter é o Homem-Aranha. Já está estabelecido no início da estação de rádio que "Tia Hottie" não sabe sobre os super-heróicos de Peter, e que "ela enlouqueceria" se descobrisse, então Tony usa isso para sua vantagem, forçando Peter a ir junto.
Em suma, Tony chantageia Peter Parker para ir junto com ele, e no caminho convence Peter que Steve está errado (mesmo que ele ache que ele está certo), e que a coisa responsável a fazer é ajudar Capitão América e sua equipe em.