How do I fix this?
Você precisará desmontar e inspecionar / reparar / substituir o conjunto da válvula
how do I do this without flooding my house... will I have to shut off all the water in the house?
Sua foto não mostra onde as mangueiras de suprimento flexíveis se originam, que seria o local lógico para procurar por válvulas de fechamento locais. Se você não conseguir encontrar ou acessar as válvulas de fechamento locais, SIM, você terá que desligar a água para qualquer lado em que trabalhar - quente, frio ou ambos / todos.
Quando o suprimento estiver desligado, você removerá a alavanca para acessar o conjunto da válvula. Existem literalmente centenas de diferentes marcas / estilos / tipos, mas a maioria é bastante intuitiva para desmontar usando ferramentas domésticas comuns. Para reparar / substituir, sua melhor aposta será tirar fotos da luminária e levá-las junto com a manopla e o conjunto da válvula para uma boa loja de materiais de encanamento.