A alma principal do Lorde das Trevas se dividiu enquanto suas Horcruxes amarraram a vida.

Quando a Maldição da Morte se recuperou no Lorde das Trevas, ele o arrancou de seu corpo e fraturou um pedaço de sua alma principal, e esse pedaço passou a viver em Harry como ele é um hospedeiro vivo e almas que não são intencionalmente Encapsulado em um objeto Horcrux, naturalmente, só vive em seres vivos.

“Tell him that on the night Lord Voldemort tried to kill him, when Lily cast her own life between them as a shield, the Killing Curse rebounded upon Lord Voldemort, and a fragment of Voldemort’s soul was blasted apart from the whole, and latched itself on to the only living soul left in that collapsing building.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 33 (The Prince’s Tale)}}

Nesse ponto, a alma principal do Lorde das Trevas foi amarrada à vida pelas Horcruxes, então quando se dividiu, ambas as peças permaneceram vivas enquanto a alma principal não pode seguir em frente enquanto há Horcruxes dando vida a ela.

“Well, you split your soul, you see,’ said Slughorn, ‘and hide part of it in an object outside the body. Then, even if one’s body is attacked or destroyed, one cannot die, for part of the soul remains earthbound and undamaged. But, of course, existence in such a form …”
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 23 (Horcruxes)}}

A peça que foi rompida ainda fazia parte da alma principal até acontecer, então também estava ligada à vida.

Na Floresta Proibida, nada atou o fragmento à vida - morreu.

“So the part of his soul that was in me …’ Dumbledore nodded still more enthusiastically, urging Harry onwards, a broad smile of encouragement on his face. ‘… has it gone?’

‘Oh, yes!’ said Dumbledore. ‘Yes, he destroyed it. Your soul is whole, and completely your own, Harry.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 35 (King’s Cross)}}

Não havia nada mantendo vivo o fragmento da alma, então a Maldição da Morte a matou assim que atingiu.

Boa pergunta! Até onde sei, isso só pode ser respondido por especulação, então aqui vamos nós ...

TL; DR - estranheza de Avada Kedavra e as circunstâncias incomuns da primeira noite.

Avada Kedavra e a alma

Como sabemos, as almas da HP estão ligadas aos corpos, mas não podem ser fisicamente prejudicadas. Se a pessoa é morta, a ligação entre a alma e o corpo é quebrada e (geralmente) a alma se move. Quase todas as maldições funcionam de maneira a machucar o corpo, causando a morte.

Exceto Avada Kedavra. A Maldição da Morte não causa dano físico. Ao contrário de todas as outras maldições, não parece afetar o corpo - ele pula o intermediário e apenas move a alma, causando a morte instantânea. Sem problemas, sem confusão. É exatamente assim que funciona normalmente e exatamente o que aconteceu com Harry na floresta. Avada Kedavra não faz nenhum dano físico.

... exceto na noite em que os pais de Harry foram mortos.

A primeira noite

Eu penso muito se se trata das circunstâncias em que o fragmento foi criado - as circunstâncias incrivelmente incomuns de uma maldição de rebote matando um mago com várias Horcruxes, todas desencadeadas pela Ancient Magic. Esta é uma enorme tempestade de magia extrema e bizarra que parece ter criado o ambiente que permitiu que o fragmento de alma sobrevivesse à Maldição da Morte e se ligasse a Harry.

Sabemos que isso é pelo menos parcialmente verdade, porque Avada Kedavra foi deformada - a casa dos Potter foi destruída e o corpo de Voldemort (possivelmente) com ele. Isso não deveria ter acontecido, mesmo se Avada Kedavra tivesse se recuperado em Voldemort, conforme Relíquias da Morte. Isso definitivamente mostra que a magia não estava se comportando corretamente quando Voldemort foi morto, e é uma grande diferença entre os dois ataques - Avada Kedavra geralmente não deixa fragmentos de alma ou alma deixados no reino mortal.

A segunda noite

Se olharmos para a segunda noite, as coisas são bem mais diretas. Voldemort lança a maldição e as almas dentro de Harry são forçadas, exatamente como deveriam ser. Nenhuma função incomum aqui - sem explosões, nada mais do que um flash de verde e a (s) vítima (s) caindo no chão. O fragmento, fraco e terrível como é, não pode voltar do limbo, mesmo que tivesse os meios. Já se foi.

Conclusão

Então, para resumir - o fragmento não conseguiu encontrar um novo host porque nunca teve uma chance. Avada Kedavra remove as almas do plano mortal, e apenas as circunstâncias bizarras daquela primeira noite permitiram que ela sobrevivesse à Maldição da Morte e se agarrasse a Harry em primeiro lugar.

Apenas a alma principal pode existir por si mesma, não qualquer um dos seus fragmentos. Sim, a Horcrux em Harry não foi feita da maneira usual, mas ele sobreviveu à Maldição da Morte, que também é incomum. Quando a maldição voltou, ele marcou Harry colocando parte da alma de Voldemort em seu corpo. Isto foi possível porque uma vez que Voldemort matou seus pais, o assassinato fraturou a alma principal, que é parte de fazer uma Horcrux. Além disso, sua alma já estava separada 5 vezes, tornando mais fácil para sua alma fraturar novamente.

O fragmento depende de Harry e, como qualquer outro Horcrux, ele não pode mudar de hospedeiro; apenas a alma principal pode fazer isso. Vale a pena notar que Harry não é uma Horcrux adequada e a parte da alma serve apenas como uma conexão entre Harry e Voldemort; é mais fraco por causa disso, e não pode se defender ou ganhar força como as outras partes da alma.