Isso depende inteiramente do tipo de visto que você está solicitando e para qual país.
Os EUA, por exemplo, emitem regularmente vistos que estão além da data de expiração do passaporte. Nesse caso, você deve levar consigo seu passaporte vencido antigo, pois ele contém o visto - junto com seu passaporte atual, pois ele é válido para viagens.
Outros países não emitem vistos para além da data de expiração do seu passaporte.
Depois, há o caso do Kuwait - onde o seu visto expira uma vez que o seu passaporte expira, mesmo que tenha validade mais longa. Esta regra foi iniciada em 2016 - para conter a fraude de vistos. Eventualmente, o Kuwait também irá parar de emitir vistos além do limite do passaporte:
The Director, Residency Directorate – Ministry of Information, Maj Gen Talal Ibrahim Maarafi, emphasized that beginning 1st January 2016, Residency Visas given to expatriates would be linked to the validity of their passports, which is in line with Article 12 and Article 15 of the Residency Law.
He explained that the validity of renewed residency visa would not exceed the validity of the passports’ and the residency would be cancelled the moment the passports expire. The holders are not permitted to obtain a new residency until the passports are renewed.