Não.

Não há a menor evidência de que os poderes de Q estejam relacionados ao Spore Drive. Os idiotas de um cara aleatório não contam, eu temo.

Q, tanto como um único indivíduo como retratado por John De Lancie, e como uma espécie inteira, são destaque em The Next Generation , e também fazem alguma aparição em Deep Space Nine e Voyager .

Em todas essas aparições, eles sempre demonstram ter poderes divinos, como você mesmo está reconhecendo em suas perguntas. Indo instantaneamente em qualquer ponto da galáxia está entre esses poderes, mas certamente não é o único : eles podem mudar sua aparência à vontade, eles podem viajar no tempo, eles podem transportar outros seres ( até mesmo naves espaciais inteiras) através do tempo e do espaço sem esforço, e enganá-lo de muitas outras maneiras se você permitir:

Resumidamente, podemos resumir tudo isso dizendo que as leis da física não as limitam de forma alguma , e que com seus poderes elas podem efetivamente fazer o que quiserem. A origem de seus poderes nunca é descrita em detalhes, mas está implícito que eles os possuem inerentemente, não como resultado de um nível incrivelmente avançado de tecnologia; e, mais ao ponto de sua pergunta, nunca é declarado, sugerido ou mesmo subtilmente implícito que eles usam uma rede de esporos para viajar.

Sabemos que o Spore Drive é um método FTL que permite velocidades incrivelmente rápidas e não suspende completamente todas as leis físicas de seus usuários. Assim, não se pode considerar que seja a fonte de todas as outras potências de Q, e é altamente improvável que eles, tendo poderes divinos em todos os outros aspectos, sejam constrangidos a usar um meio físico apenas para viajar.