Não parece. A única menção que vejo relacionada aos pêlos faciais está no capítulo 9:
I’ve fallen in to a routine. Every morning I wake up at dawn. First thing I do is check oxygen and CO2 levels. Then I eat a breakfast pack and drink a cup of water. After that, I brush my teeth, using as little water as possible, and shave with an electric razor.
Então ele pode se barbear, se quiser. Fora isso eu não consigo encontrar qualquer outra referência para barbas.
(a NASA costumava ter wind-up (accionado por mola) electrica navalhas ao estilo de uma só vez. Elas foram lançadas para eliminar a interferência elétrica.)