O espaço Schengen (do qual a França faz parte) e a Irlanda são países diferentes para fins fronteiriços.
Portanto, você precisará de um passaporte (ou carteira de identidade nacional de um país da UE / EFTA) para sair da França e entrar na Irlanda - terá que ser apresentado para controle de fronteira e também carimbado no caso de países não membros da UE. Passaportes da EFTA.
Belfast para Liverpool é uma viagem doméstica, claro, então não há controle de fronteira fixo, mas cheques estrangeiros não são incomuns, então seria bom provar que você não está no Reino Unido ilegalmente.