Existem muitas possibilidades para lidar com uma aeronave avariada, dependendo da localização e da extensão do dano.
Primeiro, para responder à pergunta sobre mecânica: as companhias aéreas não mantêm mecânicas em todos os aeroportos para onde voam. Se o aeroporto é um destino de um voo, ele é escolhido de tal forma que está equipado para atender o tipo de aeronave que irá voar para lá. Os reparos são feitos localmente no aeroporto: afinal, um Boeing 757 da Airline X é como outro Boeing 757 da companhia aérea Y, do ponto de vista da manutenção.
Agora, isso pode não ser verdade se a companhia aérea estiver voando para um local remoto ou um país não tão desenvolvido. IIRC uma resposta de um capitão aposentado 747 neste site afirma que o engenheiro de vôo também é um mecânico qualificado e eles carregam ferramentas no porão de carga para lidar com reparos simples. Não tenho certeza se essa prática ainda está em uso hoje.
Se o reparo não puder ser concluído no aeroporto, geralmente é um desvio, um pouso de emergência ou um dano incomum. Existem duas opções: ou reparar a aeronave no local de volta ao status de serviço, ou consertá-la temporariamente para que possa voar para um local onde seja realizada uma melhor manutenção.
A companhia aérea pode usar qualquer meio para transportar o equipamento necessário. No entanto, uma aeronave aterrada é um ativo que não gera lucro, e a maneira mais rápida de transportar o equipamento é voar. A companhia aérea pode voar com engenheiros e ferramentas do hub principal usando seus próprios aviões ou pode fretar um voo de carga.
Se o dano for realmente sério, o fabricante da aeronave tem uma equipe de resposta a emergências que vão a qualquer lugar do mundo para consertar uma aeronave. A equipe está de plantão 24 horas por dia, sete dias por semana. Os membros da equipe são mecânicos muito experientes que trabalharam na linha de montagem e podem reparar quase todos os danos.