Ainda não está claro qual é o propósito dele além do muro, mas sabemos algumas coisas e, portanto, podemos especular.
Primeiro e mais importante: os Caminhantes Brancos foram criados séculos atrás antes da longa noite pelos Filhos da Floresta como uma arma para lutar contra os primeiros homens, como pode ser visto no programa de TV. Segundo: depois que os Caminhantes Brancos foram criados, tanto os homens quanto os Filhos da Floresta tiveram que combatê-los. Ambos fizeram uma aliança e foram capazes de derrotar os White Walkers (a lenda de Azor Ahai é deste período de tempo). Depois disso, eles construíram a muralha e por algum tempo os Filhos da Floresta até proporcionaram a Vigília Noturna com Dragon Glass no caso dos Caminhantes voltarem.
A partir disso, podemos especular que a magia que criou os White Walkers deu errado e eles se voltaram contra todos em seu caminho. Eles poderiam ser apenas uma arma que está fora de controle (eu não acredito) ou eles poderiam estar conscientes e querer se vingar ou até mesmo querer conquistar Westeros.
Pessoalmente, tenho a tendência de acreditar que a vingança seria mais plausível desde a maneira como o Night King (o primeiro Night Walker) foi criado. Ele era apenas um homem, provavelmente um soldado dos primeiros homens capturados pelos Filhos da Floresta.[EDITAR]
Como comentado abaixo, o muro foi construído depois que o Rei da Noite foi criado. (The Night King é a razão pela qual o muro foi construído)
Mais uma vez, ainda não sabemos o objetivo dele, isso é apenas especulação.