Eu diria: "Não, um exaustor não é necessário".
O Código (Seção IBC 1201.1) diz que os espaços devem ser ventilados por meios "ativos ou passivos". No entanto, você poderia argumentar que janelas operáveis no resto da casa poderiam ser "ventilação passiva" para esse espaço interno. (Fraco, mas aceitável.)
O código (Seção IBC 1204.1) diz que o aquecimento do espaço é necessário, exceto quando o "propósito do espaço não está associado ao conforto". Eu diria que o propósito de uma lavanderia não é conforto.
Portanto, é apenas um design ruim, não uma violação de código.