Green-Flame Blade:
As part of the action used to cast this spell, you must make a melee attack with a weapon against one creature within the spell's range, otherwise the spell fails.
Isso indica que, desde que o ataque seja um ataque corpo-a-corpo feito com uma arma, você pode usar essa técnica e aplicar seus efeitos. Eu percebo que arma improvisada tem arma no nome, e está sob a categoria de armas, mas isso também significaria que eu posso usar uma caneca como uma arma improvisada com Booming Blade. Não vejo razão para que isso não funcione, mas ainda estou curioso para ver como os outros podem interpretar isso.
"Ataque corpo-a-corpo com uma arma" é diferente de um "ataque corpo-a-corpo" - desde que você use uma arma (incluindo armas improvisadas, mas não desarmado) e faça um ataque com ela, você cumpriu a condição prévia. Você pode até usar uma arma de longo alcance (como uma arma improvisada) para fazer um ataque corpo-a-corpo.