TL: DR : Eles estavam muito ocupados lutando no Norte para irem imediatamente e eles queriam provas antes de cometerem homens para irem a Dragonstone.
Vamos analisar a conversa completa:
Stannis: You don't look like a soldier. But I'm told you killed a white walker.
Sam: I did, Your Grace.
Stannis: How?
Sam: With a dagger made of dragonglass. Dragonglass? What the maesters call obsidian.
Stannis: I know what it is. We have it in Dragonstone. Why would obsidian kill a walker?
Sam: I don't know. I've been going through all the old manuscripts hoping to find something, and all I've learned is that the children of the forest used to hunt with dragonglass.
Stannis: The Lady Melisandre told me that death marches on the Wall.
Sam: I've seen it, Your Grace.
Stannis: Seen what?
Sam: The army of the dead. And when they come. We have to know how to fight them.
Stannis: Keep reading, Samwell Tarly.
A partir do diálogo, é óbvio que eles não sabem porque o Dragonglass foi capaz de matar o White Walker apenas que o fez. Para todos eles sabem que poderia ter tido sorte que Sam conseguiu acertar em um ponto fraco. Sam ainda está investigando para ver se realmente era o Dragonglass que fez isso.
Como @Theik menciona nos comentários que Stannis diz ter em Dragonstone poderia significar "Eu tenho esse trono maravilhoso de Dragonglass!" como ele nunca elabora a quantidade. Embora por que Sam nunca questionou Stannis mais sobre a quantidade e paradeiro parece fora.
Agora, eles também não sabem se podem confiar em Stannis neste ponto, já que ele é visto como um inferno no poder. Esta citação do episódio 2 parece confirmar por que eles não começaram imediatamente, embora por que eles não mandaram ninguém para baixo para realmente verificar está além de mim. (Embora a explicação mais provável seja que Jon estava muito ocupado sendo morto, matando aqueles que se rebelaram e tomaram o norte de volta)
Jon: This message was sent to me by Samwell Tarly. He was my brother at the Night's Watch, a man I trust as much as anyone in this world. He's discovered proof that Dragonstone sits on a mountain of dragonglass.
Então, quando Sam "descobre" sobre o Dragonglass, ele explica por que ele nunca pensou estar confiante sobre isso antes.
Sam: It's a map of Dragonstone. The Targaryens built their first stronghold there when they invaded Westeros.
Gilly: That's dragonglass?
Sam: A mountain of it. Beneath the ground. Stannis told me, but I didn't think... This is important. Jon needs to know.
Quanto ao final de "não pensei" bem, não sabemos:
- ... Stannis estava dizendo a verdade.
- ... para contar a Jon.
- ... para lembrar essas informações até agora.
- ... eles realmente tinham tanta coisa lá.
- ... Stannis estava falando sobre um monte de coisas.
Como @ Odin1806 comenta abaixo:
Another thing I was going to point out is Dragonstone itself. As I understand it Dragonstone is both the island and the castle. It is possible that Sam thought of only Dragonstone the castle, even if Stannis had scouted the area himself and meant Dragonstone the island with obsidian in the caves beyond.