Eu não concordo com a sua premissa. Eles não precisavam da verdadeira memória para descobrir que Riddle tinha Horcruxes; Dumbledore já tinha razões bastante sólidas para acreditar que ele fez, mesmo antes que eles tivessem a verdadeira memória.

Do capítulo 17 do HBP ("A Sluggish Memory"), quando visitam pela primeira vez a memória (editada), Riddle disse:

"Sir, I wondered what you know about... about Horcruxes?"

Então, Dumbledore já sabia, pela memória editada, que Riddle estava interessado em Horcruxes.

Ele também já suspeitava que Riddle tinha mais de um Horcrux. O diário sendo tanto arma quanto salvaguarda, Voldemort dizendo que ele havia "ido mais longe do que qualquer um ao longo do caminho que leva à imortalidade", o fato de sua aparência ter se tornado menos humana ao longo dos anos: tudo isso levou Dumbledore a suspeitar que Riddle vários Horcruxes (como ele explica no capítulo 23, "Horcruxes").

Mas ele ainda precisava da memória verdadeira. Por quê? Para descobrir quantos Horcruxes Riddle tinha. Essa é a peça que Dumbledore não sabia (e não conseguia nem adivinhar), e a peça sem a qual eles não poderiam derrotá-lo. As Horcruxes tiveram que ser destruídas primeiro, e isso não poderia ser feito se Riddle suspeitasse que eles estavam caçando Horcruxes; os mocinhos tinham para saber quantas Horcruxes havia, ou a batalha estava perdida antes de começar. Isso é porque Dumbledore precisava da memória: para descobrir exatamente quantas Horcruxes Riddle havia planejado.

Isso está no livro, Dumbledore já adivinhou e seus palpites geralmente são bons , mas ele precisava da memória de Slughorn para confirmar seu palpite.

Dumbledore aparentemente já sabia que Voldemort estava planejando fazer horcruxes, mas ele queria, em primeiro lugar, confirmar isso, mas mais importante, ele queria saber se Voldemort poderia ter perguntado algo importante sobre as possíveis horcruxes que ele faria. Dumbledore já sabia que Voldemort havia pesquisado como fazer horcruxes, ele provavelmente sabia que Voldemort estava procurando informações mais específicas quando ele abordou Slughorn. Este acabou sendo o comentário de Voldemort sobre fazer 7 horcruxes. Dumbledore pode ter suspeitado que Voldemort tinha um número específico em mente, por causa de suas suspeitas sobre o diário, ou ele pode ter suspeitado que Voldemort queria fazer uma pergunta mais específica que seria útil na busca e destruição de tais horcruxes. p>     

Dumbledore queria descobrir quantas Horcruxes havia.

“I have been hoping for this piece of evidence for a very long time,’ said Dumbledore at last. ‘It confirms the theory on which I have been working, it tells me that I am right, and also how very far there is still to go …”
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 23 (Horcruxes)}}

Dumbledore diz a Harry que desde que Harry conseguiu a memória, eles estavam mais perto de descobrir como derrotar o Lorde das Trevas, e que a memória mostra que o Lorde das Trevas teria feito seis Horcruxes.

“But now, Harry, armed with this information, the crucial memory you have succeeded in procuring for us, we are closer to the secret of finishing Lord Voldemort than anyone has ever been before. You heard him, Harry: “Wouldn’t it be better, make you stronger, to have your soul in more pieces … isn’t seven the most powerfully magical number …” Isn’t seven the most powerfully magical number. Yes, I think the idea of a seven-part soul would greatly appeal to Lord Voldemort.”
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 23 (Horcruxes)}}

Dumbledore já sabia que o Lorde das Trevas tinha Horcruxes antes de ver a memória de Slughorn, mas ele considerou recuperar a memória crucial para descobrir com certeza quantos Lord das Trevas tinha.

Eu acho que é só que Dumbledore pensou que era uma evidência sólida, e ele não queria dizer a Harry sem rodeios, parece (ele nunca menciona isso até que Harry tenha a memória).

Eu acho que isso representa uma escrita desleixada da parte de J.K.Rowling. Ela precisava de uma maneira dramática de apresentar a ideia de Horcruxes ao leitor e precisava reforçar a dificuldade do conhecimento.

É razoavelmente óbvio que Dumbledore já sabia. E não foi apenas um palpite. Foi certo conhecimento.

Uma explicação mais gentil poderia ser que Dumbledore queria que Harry descobrisse de uma forma que reforçaria a idéia de Harry porque ele suspeitava que o próprio Harry poderia ser um horcrux e que eliminar todos eles exigiria um sacrifício que Harry tinha que fazer. entender a necessidade de mais profundamente do que poderia ser impresso nele por uma simples explicação de Dumbledore.

Ou pode ser que Dumbledore ainda não confiasse completamente em Harry porque ele suspeitava que Harry era um horcrux, e queria ver como Harry reagiria ao conhecimento sem revelar completamente que ele sabia.

Eu quero usar uma abordagem um pouco diferente para responder a essa pergunta. A maioria das respostas está certa, mas elas ainda não respondem realmente por que isso era tão importante.

Não se esqueça: Dumbledore já tinha essa memória e mostrou para Harry. Ele percebeu, que Slughorn tinha se curtido e foi isso que o deixou curioso: o que era tão importante / cruel / horrível que Slughorn queria escondê-lo para sempre?

Dumbledore tinha certeza de que isso era muito importante. Eu não sei, mas ele adivinhou que era algo sobre o número de Horcruxes, mas ele sabia que poderia ser muito importante. É por isso que ele pediu para Harry gerar a memória real.

Acho que todas as respostas existentes perderam o ponto mais importante. Sabemos que Dumbledore já sabia sobre as Horcruxes porque Dumbledore já havia rastreado e destruído um deles!

Antes do início do ano letivo, Dumbledore já havia pesquisado o suficiente sobre o passado de Voldemort para saber que ele havia criado Horcruxes e que um deles (o anel) estava escondido nas ruínas da casa dos parentes de Voldemort.

Na verdade, Dumbledore diz a Harry que ele conhecia as Horcruxes bem antes disso. Em uma de suas sessões em Half-Blood Prince ele diz:

"Four years ago, I received what I considered certain proof that Voldemort had split his soul."

Ele então explica como o diário que Harry havia encontrado na Câmara Secreta era claramente uma Horcrux.

"The careless way in which Voldemort regarded this Horcrux seemed most ominous to me. It suggested that he must have made — or been planning to make — more Horcruxes, so that the loss of his first would not be so detrimental.I did not wish to believe it, but nothing else seemed to make sense.

Então Dumbledore conta a Harry sobre novas evidências de que Voldemort fez várias Horcruxes:

"Then you told me, two years later, that on the night that Voldemort returned to his body, he made a most illuminating and alarming statement to his Death Eaters. 'I, who have gone further than anybody along the path that leads to immortality.' That was what you told me he said. 'Further than anybody,' And I thought I knew what that meant, though the Death Eaters did not. He was referring to his Horcruxes, Horcruxes in the plural, Harry, which I do not believe any other wizard has ever had.

Então, o que vemos a partir disso é que a memória de Slughorn foi decididamente não necessária para induzir em Dumbledore as múltiplas Horcruxes. Se Dumbledore nunca tivesse visto a verdadeira memória, ele ainda teria caçado Horcruxes, como na verdade ele estava fazendo antes de ver a memória real.

No entanto, ainda havia alguns fatores desconhecidos. Sabendo que Slughorn tinha uma memória adulterada envolvendo uma discussão com Voldemort sobre Horcruxes é certamente uma razão suficiente para querer vê-lo, especialmente se você já sabe que Voldemort criou múltiplos Horcruxes. A memória pode conter qualquer quantidade de informações úteis que possam ajudar na luta contra Voldemort. De fato, ele continha algumas informações úteis, a saber, que Voldemort tinha a ideia de que sete Horcruxes seriam especialmente poderosas.

Dumbledore pode ou não ter suspeitado que a verdadeira memória continha informações especificamente relacionadas ao número de Horcruxes, mas ele certamente suspeitava que teria alguma informação útil. De fato, depois que eles vêem a memória adulterada, Dumbledore afirma explicitamente que não sabe o quão importante a memória verdadeira será:

It is most important that we secure the true memory, Harry.... How important, we will only know once we have seen the real thing.