Você pediu especificamente não por uma taxonomia de diferença de comportamento, mas acho que é essencial para a resposta que você está procurando.
Jogo mecanicamente, hastes podem ou não ter cargas. Varinhas sempre têm cobranças. Tematicamente, as hastes são mais como Itens Maravilhosos que fazem WeirdStuff (tm), enquanto as varinhas são basicamente limitadas a serem distribuidores de magias armazenadas. Varinhas lançam feitiços, e é basicamente isso. Os bastões podem conjurar magias, mas também podem fazer outras coisas que não são específicas de magias.
Quanto ao item mágico GM, se o que ele faz é lançar um feitiço, ele provavelmente deve ser feito uma varinha. Se o que ele faz é algo diferente de lançar um feitiço, provavelmente deveria ser uma vara. Se lançar várias magias diferentes, deve ser uma equipe.
Eu sou menos familiarizado com 5e, então este próximo bit pode não ser relevante, mas no Pathfinder havia arquétipos (por exemplo, Magus com 'Wand Wielder') que poderiam fazer coisas especificamente com varinhas como parte de sua característica de classe, que não poderia ser feito com varas. Isso é apenas um exemplo de um conjunto de regras semelhante que faz uma distinção. Eu olharia para qualquer classe de personagem em 5e com a palavra "Wand" em qualquer uma de suas descrições, ao procurar por diferenças mecânicas de jogo entre varinhas e bastões.