A proficiência parece que deve ser incluída
O Background de Entertainer (PHB, 130) dá a você proficiência em um tipo de instrumento musical E dá a você o dito instrumento musical.
A variante Gladiator (PHB, 131) afirma:
You can replace the musical instrument in your equipment package with an inexpensive but unusual weapon, such as a trident or net.
Embora não especifique especificamente a troca da proficiência dos instrumentos musicais, parece claro que você está trocando o instrumento musical e o conhecimento de como tocá-lo para uma arma (e possivelmente saber como usá-lo). .)
No entanto, um RAW estrito é que ele NÃO inclui a proficiência
A linguagem é clara que você está apenas para trocar o equipamento - e nada é dito sobre a mudança da proficiência.
Fundos personalizados
Mas fale com o seu Mestre, já que os planos de fundo personalizados também estão no PHB (Página 126) e este é um pedido bastante razoável (e uma maneira legal de obter uma proficiência em arma que você talvez não tenha.)
MAS
A proficiência adicional que os Fundos proporcionam a você são todas as Ferramentas - nenhum plano de fundo lhe dá proficiência adicional de arma (nem mesmo soldado.) Embora pareça fazer sentido dar proficiência, é difícil encontrar proficiência em arma, e é muito razoável não permitir que um plano de fundo ofereça proficiência em armas.