Parece que a madeira já apodreceu ou se deteriorou além do reparo. Se forem apenas algumas peças, você precisará substituí-las, mas se a cadeira inteira estiver apodrecendo, é provável que esteja destinada à pilha de sucata.
De um modo geral, você precisa terminar a madeira para resistir aos elementos. Paint, shellac e verniz são alguns dos métodos que você pode usar.