Não, não creio que você possa usar o cartão azul da UE para fazer isso. Não encontrei nenhum direito especial para entrar em outros países da UE no Diretiva Cartão Azul .
Mas a introdução contém isto:
(14) Third-country nationals who are in possession of a valid travel document and an EU Blue Card issued by a Member State applying the Schengen acquis in full, should be allowed to enter into and move freely within the territory of another Member State applying the Schengen acquis in full, for a period of up to three months, in accordance with Regulation (EC) No 562/2006 of the European Parliament and of the Council of 15 March 2006 establishing a Community Code on the rules governing the movement of persons across borders (Schengen Borders Code) (7) and Article 21 of the Convention implementing the Schengen Agreement of 14 June 1985 between the Governments of the States of the Benelux Economic Union, the Federal Republic of Germany and the French Republic on the gradual abolition of checks at their common borders.
Isso é um pouco difícil de analisar, mas basicamente significa que se você tiver um Cartão Azul da UE emitido por um Estado de Schengen, você pode viajar no espaço Schengen (na verdade, esse é geralmente o caso com a maioria das autorizações de residência emitidas pelos Estados Schengen, não apenas os Blue Cards da UE).
Como o texto explicita explicitamente essa restrição, pode-se inferir que esse direito de viajar para outros Estados membros não se aplica a estados membros não-Schengen (como destinos ou como emissor de cartão azul). No momento em que escrevo isto, a Bulgária não é um “Estado-Membro que aplica o acervo de Schengen integralmente”. (“Na íntegra” significa um Estado membro que faz parte do espaço Schengen, a Bulgária já aplica parte do acervo , porque tem de emitir vistos e realizar controlos fronteiriços ao padrão Schengen mas, como você provavelmente sabe, não é realmente parte da área livre de fronteiras.)