Isso reduziria apenas a velocidade do personagem, como as outras respostas explicam, mas ao usar o RAW você só pode usar o movimento das criaturas para mover a criatura: (grifo meu)

Moving a Grappled Creature. When you move, you can drag or carry the grappled creature with you, but your speed is halved, unless the creature is two or more sizes smaller than you.

Basicamente, o movimento dos seus cavalos acabaria com a condição de agarrar, porque removeria a criatura agarrada do alcance dos grapplers.

The condition also ends if an effect removes the grappled creature from the reach of the grappler or grappling effect, such as when a creature is hurled away by the thunderwave spell.

A velocidade da montaria não é afetada, a menos que o peso do cavaleiro e da criatura agarrada excedam sua capacidade de carga (o que é improvável). O principal efeito é que, desde que a montagem e a desmontagem usem metade do movimento do motociclista, e o movimento do cavaleiro é reduzido ao mover uma criatura agarrada, então se o cavaleiro desejar montar ou desmontar o corcel enquanto mantém a garra, isso consumirá todo o seu movimento.

Não

Se um personagem está movendo um oponente, a velocidade desse personagem é reduzida pela metade.

Mesmo quando montado, a velocidade do personagem e da montagem são independentes. Assumindo uma montagem controlada, significa apenas que o personagem pode direcionar a montaria para agir usando as ações / velocidade da montaria.

It moves as you direct it, and it has only three action options: Dash, Disengage, and Dodge. A controlled mount can move and act even on the turn that you mount it.

E vendo que montar um corcel enquanto luta (apesar de muito difícil de imaginar e provavelmente mais difícil de executar no jogo) não significa que o cavalo esteja agarrando o adversário.

Assim, o corcel da montaria permaneceria inalterado.

Na verdade, isso levanta a questão de: "Você pode manter uma garra e montar sua montaria?". Em nenhum lugar no RAW, isso diz que é possível ... mas, se eu fosse um Mestre, eu poderia decidir isso como possível - talvez sujeito a um teste de habilidade / habilidade.
Por exemplo. Algo como: Role para ver se você pode manter a garra nesta rodada (Se "sim", então continue com a seqüência de ações; se "não", a garra é perdida conforme as regras normais) e, em seguida, Role para ver se você pode montar sua montaria (Se "sim", então você está montado; se "não", então você não pode montar esta rodada.) Ou, talvez inverter as verificações, dependendo se você pode querer penalizar um PC por não conseguir montar. (Ou seja, porque você não conseguiu montar, você sofre uma penalidade para manter sua tentativa de agarrar)

Agora, se assumirmos que essa pergunta básica é "Sim", provavelmente diria que a montaria diminuiria a metade da velocidade - assim, você poderia manter a garra.

Enquanto, as outras respostas parecem pensar que este não seria o caso (diminuindo sua montaria), e o movimento que é retardado é seu, eu humildemente imploro para discordar. Eu pensaria que o movimento total que está sendo usado deveria ser desacelerado - seja ele o seu (desmontado) ou as montagens (montadas) - e, se qualquer limitação de ônus se aplicar, adicione-as também. O ser racional "in game", essa perda de velocidade é permitir que você mantenha a garra.