Sim, a equipe de manejo em terra vai querer checar seus documentos (porque as companhias aéreas podem ser responsabilizadas se trouxerem alguém sem a devida documentação) e você terá que passar por um controle oficial de passaportes (verificação de saída Schengen da polícia francesa). Mas, como cidadão francês, pode realmente entrar na Turquia com um bilhete de identidade nacional e nem sequer terá de pagar pelo eVisa turco que muitos outros cidadãos europeus têm de obter.
Na prática, como as regras podem ser muito complicadas, as companhias aéreas usam um banco de dados chamado Timatic para descobrir os requisitos de visto e, a partir de hoje, inclui todas as informações que você encontrou no site oficial do Ministério de Relações Exteriores da Turquia, então eu não esperaria nenhum problema com a equipe do aeroporto.
Quanto à polícia, não há razão para impedir que você saia, mas eu realmente não sei. Deixar o espaço Schengen com um cartão de identificação nacional válido é definitivamente permitido e não problemático. Eu não acho que eles deveriam estar realmente preocupados com as regras da Turquia, mas eu suponho que você pode encontrar um policial que esteja surpreso com isso e exija uma explicação. Hoje em dia, eu uso principalmente os portões automáticos de passaporte nos principais aeroportos e ninguém sequer pergunta pelo meu destino, então não tenho experiência em primeira mão para relatar. Eu não sei como as máquinas responderiam a um documento expirado também.