O OP fez duas perguntas. Embora isso geralmente seja desencorajado, responderei a ambos e migrarei uma das minhas respostas se ela for dividida em seu próprio tópico.
Por que Dumbledore ficou nervoso quando o nome de Harry surgiu do cálice?
Várias razões vêm à mente:
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O nome de Harry foi enviado em circunstâncias incomuns.
O Torneio Tribruxo só tem três campeões e agora o nome número quatro sai. Combine isso com outros eventos suspeitos (a fuga de Rabicho, o desaparecimento de Bertha Jorkins e a Marca Negra na Copa do Mundo) e ele ficará preocupado que isso seja parte de um plano maior. Um plano que provavelmente termina com a morte de Harry.
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Harry é um alvo.
Nenhum dos outros competidores tem Comensais da Morte ou bruxos das trevas que gostariam de matá-los, apenas Harry. O fato de Harry ter sido escolhido para um torneio no qual pessoas morreram no passado, enquanto houver pessoas que gostariam de matá-lo ou vê-lo morrer em um "acidente", deixaria Dumbledore nervoso. O Torneio foi criado para garantir que ninguém morra por acidente, não por tentativas deliberadas de assassinato.
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Hogwarts foi infiltrada por alguém que quer dizer mal a Harry.
Como Moody explica, enganar o Cálice é uma peça de magia muito além do aluno. Isso não aconteceu por acaso; alguém especificamente colocou o nome de Harry no Cálice, e qualquer pessoa com esse nível de habilidade também é inteligente o suficiente para saber que Harry teria que competir:
“It’s very simple, Karkaroff. Someone put Potter’s name in that goblet knowing he’d have to compete if it came out.”
e
“It would have needed an exceptionally strong Confundus Charm to bamboozle that goblet into forgetting that only three schools and the three camps are to compete in the tournament.. . . I’m guessing they submitted Potter’s name under a fourth school, to make sure he was the only one in his category.. . .“
Essa pessoa precisaria de acesso direto ao próprio Cálice, o que significa que eles podem entrar em Hogwarts. Preocupações com a segurança de Harry, tem que incomodar Dumbledore que alguém tão poderoso e perigoso tenha invadido a escola.
Muitas outras pessoas - incluindo Hagrid, McGonagall e Snape - são inteligentes o suficiente para seguir o mesmo raciocínio e perceber que a entrada de Harry no Torneio é suspeita e causa grande preocupação.
Por que Dumbledore não tirou Harry do torneio?
Novamente, não há uma única resposta, mas vários motivos:
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Existe este "contrato mágico de ligação".
Como Crouch explica, quando várias pessoas sugerem que Harry deveria ser retirado:
“We must follow the rules, and the rules state clearly that those people whose names come out of the Goblet of Fire are bound to compete in the tournament.”
O único outro contrato mágico em que consigo pensar é o Voto Imperdoável, cuja pena é a morte. Embora eu duvide que o Torneio Tribruxo seja tão rigoroso, Dumbledore pode não querer deixar a penalidade cair na cabeça de Harry, especialmente se for grave.
(Talvez você possa argumentar que Harry não é limitado por esses termos, porque na verdade ele não colocou o nome dele. Boa sorte ao tentar criar regras - advogado, um objeto mágico inanimado.)
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Pode colocar Harry em mais perigo.
Como dito acima, Dumbledore sabe que alguém é perigoso em Hogwarts, e seu plano presumivelmente envolve Harry nos Jogos: ele faz uma cobertura fácil se ele tiver um "acidente". Se Harry não estiver nos Jogos, eles recorrerão a outros meios. Se isso o está atacando no corredor, sala de aula ou sala comum, Harry pode estar mais arriscado por um ataque imprudente, como qualquer outra pessoa que esteja perto dele.
Por outro lado, os Jogos são estritamente regulados e rigorosamente monitorados. Se Dumbledore encontrou evidências de jogo sujo, então ele poderia tirar Harry de uma tarefa específica. Mas tirá-lo completamente significa que ele provavelmente será atacado nos corredores, onde não há tantas proteções.
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Parece embaraçoso para Hogwarts e desacredita Dumbledore.
Se o nome de Harry sai do Cálice, e ele é retirado imediatamente, então parece um golpe de publicidade. Dumbledore já está ciente de que os planos estão em andamento (Jorkins, Dark Mark, etc.) e provavelmente prefere não parecer estúpido diante da comunidade internacional.