Regras em ordem de prioridade:
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Para as autoridades de um país cujo passaporte você possui, mostre esse passaporte.
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Para as autoridades de países intimamente associados, mostre o passaporte intimamente associado (para você, isso significa usar o passaporte australiano na Nova Zelândia e o passaporte irlandês em países da UE que não o Reino Unido).
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Para as autoridades de qualquer país estrangeiro, se houver uma inspeção do passaporte na saída, mostre o passaporte que você usou para entrar no país.
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Ao fazer o check-in de um voo, mostre o passaporte que você usará no seu destino. Se esse passaporte tiver um visto devido ao trânsito ou à duração da sua estadia, mostre também o outro passaporte que o isenta da exigência de visto.
Por simplicidade, você pode tratar o Reino Unido como país não pertencente à UE ao aplicar essas regras, mas mesmo depois que o Reino Unido deixar a UE, os cidadãos irlandeses terão o direito de se estabelecerem no Reino Unido como fizeram desde a década de 1920. Portanto, você pode dispensar o passaporte do Reino Unido e usar apenas os passaportes irlandês e australiano.