Como o médico envelhece mais rápido durante os eventos de The Time of The Doctor?

Não sabemos, mas podemos fazer suposições educadas.

Nós vimos um outro Senhor do Tempo atingir o fim de seu ciclo de regeneração: O Mestre, em Old Who. Quando ele chegou ao final de seu último corpo, o Mestre desmoronou. Quase literalmente:

Os Time Lords envelhecem mais lentamente que os humanos. O doutor não está envelhecendo mais rápido assim que chega a Trenzalore. Ele está apenas envelhecendo. Como você disse, 200 anos não mostram uma ruga sobre ele. Mas a idade é cumulativa. Ele não apenas começa do zero todas as vezes que conta sua idade. Por "O Tempo do Doutor", a décima primeira encarnação é de aproximadamente 300 anos de idade. O tempo que ele inicialmente passou no Natal acrescentou outros 300 anos à sua idade. Então, nesse ponto, a décima primeira encarnação teria 600 anos e, finalmente, mostraria a idade. E o tempo em Trenzalore depois disso só acrescentou mais anos em uma situação muito extenuante.

Note que já vimos um outro médico idoso, é claro: o primeiro. Nós só parecemos que ele é velho, na verdade. Como essa é definitivamente sua primeira encarnação, podemos supor que ele envelheceu normalmente (por um Senhor do Tempo) até aquele ponto. Nas outras vezes em que o Doutor se refere à sua idade, podemos supor que ele estava com 230 anos de idade quando ele começou a viajar com os Tardis. Isso é um pouco menos do que os (aproximadamente) 600 anos que o Eleven era antes de começar a mostrar a idade. Podemos talvez especular que, se deixássemos envelhecer normalmente, cada encarnação duraria mais tempo antes de precisarmos regenerar-se.

Sua energia de regeneração pode manter sua atual encarnação jovem, mas ao final de seu ciclo ele não tem energia para sustentar a juventude sem se matar. No episódio em que Tennant regenerou ele usou seu excesso de energia de regeneração para fazer muitas coisas, ou seja, recuperar uma mão (que também por RE cresceu em uma meta-crise), o mestre envelheceu rapidamente, mas com a ajuda do pensamento de cada humano regenerado para recuperar a juventude; Matt Smith depois de ter começado um novo ciclo tornou-se jovem novamente, mesmo que ele se regenerasse completamente em Peter mais tarde no especial. Também em Anjos tomam Manhattan ele "desperdiçou" R.E. para curar o pulso da música River que poderia ter mantido sua juventude. É meu palpite, mas no inverso existem muitos exemplos que sustentam minha hipótese

Eu sempre imaginei que fosse porque os Time Lords não envelhecem no mesmo padrão que os humanos. Então, suponha que um hipotético Time Lord se regenere em uma criança. Ele então cresce e passa pela puberdade, então ele atinge a maturidade e o processo de envelhecimento desacelera, então ele aparece com 30 anos aos 120 (desde a regeneração), então cerca de 35 na idade real de 500 anos.

Então, quando o Senhor do Tempo chega a um certo ponto, ele acelera porque ele chegou ao fim de sua vida.

Ele não envelheceu mais rápido do que o normal, é só que o Doutor provavelmente passou mais de mil anos em sua 11ª (13ª) encarnação e sem surpresa tornou-se idoso, decrépito e fraco.

Isso não é difícil de conciliar.

Entre a idade de 20 e 35 anos você não parece mudar muito; mas só espere até você progredir entre 45 e 60. Oh, garoto, espere!