Tecnicamente, dormir na praia é proibido em todo o país.
No entanto, há algumas exceções detalhadas em 7 playas donde puedes acampar que é, 7 praias onde você pode acampar . Lá fala sobre El Salado em Lanzarote (em espanhol, minha tradução):
Camping and sleeping in the beach is not easy. Moreover, it is forbidden in most of Spanish coast apart from some exceptions. The beach El Salado is one of them, a natural gem in Lanzarote in the edge of the island La Graciosa. You need some time to reach this paradise where you can dive naked and sleep without restrictions, but it is worth it.
Na página oficial ACAMPADA: PLAYA DE "EL SALADO" (CALETA DEL SEBO) você tem um formulário para pedir permissão para acampar naquela praia.
Note que La Graciosa é uma pequena ilha ao norte de Lanzarote, então você precisa pegar um ferry de Órzola para chegar lá.
I'd like to sleep on the beach in a tent or mattresses. Is that possible, safety, legality, and weather?
Como você estará em uma área oficial de acampamento, a segurança deve ser mais do que boa. Em geral, as ilhas Canárias são bastante seguras.
O clima nessas ilhas é subtropical, o que significa que a temperatura fica em torno de 25ºC por todo o ano. Pode ficar um pouco mais frio à noite, mas eu não esperaria menos de 15ºC. Além disso, a chuva é bastante rara.
It would also be nice to know how populated with tourists the islands are.
Você pode obter muitas informações na Wikipedia ou em outras fontes. Especificamente falando sobre Lanzarote, tem algumas áreas de turismo intensivo, mas no geral tem um bom equilíbrio.