Não existem detalhes reais.
PHB p155
Mounts other than those listed here are available in the worlds of D&D, but they are rare and not normally available for purchase. These include flying mounts (pegasi, griffons, hippogriffs, and similar animals) and even aquatic mounts (giant sea horses, for example). Acquiring such a mount often means securing an egg and raising the creature yourself, making a bargain with a powerful entity, or negotiating with the mount itself.
Isto esconde a ideia de que é possível e alguns exemplos de como, mas o Mestre faz a chamada final sobre isso. Mesmo nas adições de Tempo de inatividade em UA, elas não incluem o que eu vi, mas poderia facilmente ser desenvolvido usando os existentes no PHB e na UA como diretrizes para custos e problemas que poderiam surgir, como quando ele tenta voar, assusta o gado local e você tem que pagar mais como recompensa pelo inconveniente.
Muitas coisas são simplesmente deixadas para a decisão do Mestre e da Mesa, e essa seria uma delas. Trabalhe com seu Mestre ou seus jogadores por um sistema razoável ou jogue de ouvido, já que não há dois animais com a mesma personalidade.