Não, a varinha de Harry não tinha um pedaço da alma do Lorde das Trevas.

A varinha de Harry absorveu algo do Lorde das Trevas quando suas varinhas se conectaram, mas não um pedaço da alma do Lorde das Trevas. Dumbledore quer dizer que a varinha de Harry absorveu um pouco do estilo de magia do Lorde das Trevas que sua varinha teria aprendido com ele e continha um pouco de sua habilidade e poder.

“I believe that your wand imbibed some of the power and qualities of Voldemort’s wand that night, which is to say that it contained a little of Voldemort himself. So your wand recognised him when he pursued you, recognised a man who was both kin and mortal enemy, and it regurgitated some of his own magic against him, magic much more powerful than anything Lucius’s wand had ever performed. Your wand now contained the power of your enormous courage and of Voldemort’s own deadly skill: what chance did that poor stick of Lucius Malfoy’s stand?”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 35 (King’s Cross)}}

Varinhas absorvem parte da experiência de seus donos, então a varinha do Lorde das Trevas teria aprendido com ele e teria um pouco de seu poder e habilidade específicos. Esta é a "parte do" Lord das Trevas que a varinha de Harry absorveu de sua varinha quando eles se conectaram - a magia que aprendeu com ele.

A alma do Lorde das Trevas só quebrou desde que a Maldição da Morte o atingiu.

Além disso, nada aconteceu com o Lorde das Trevas que deveria ter causado um pedaço de sua alma para separar e separar. A última vez que isso aconteceu foi quando a Maldição da Morte se recuperou e o atingiu.

“Tell him that on the night Lord Voldemort tried to kill him, when Lily cast her own life between them as a shield, the Killing Curse rebounded upon Lord Voldemort, and a fragment of Voldemort’s soul was blasted apart from the whole, and latched itself on to the only living soul left in that collapsing building.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 33 (The Prince’s Tale)}}

O Lorde das Trevas não foi arrancado de seu corpo pelo Priori Incantatem, nem foi atingido por uma Maldição da Morte, então não deveria ter quebrado outra parte de sua alma.

Pedaços de alma que se "soltam" só se ligam a almas vivas, não a objetos.

Além disso, se um pouco da alma do Lorde das Trevas se soltar, ela não poderia se enfiar na varinha de Harry. Como mostra o em Harry, pedaços de alma que se soltam e não são intencionalmente selados em uma Horcrux só podem se ligar a almas vivas, não a objetos inanimados.

“Tell him that on the night Lord Voldemort tried to kill him, when Lily cast her own life between them as a shield, the Killing Curse rebounded upon Lord Voldemort, and a fragment of Voldemort’s soul was blasted apart from the whole, and latched itself on to the only living soul left in that collapsing building.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 33 (The Prince’s Tale)}}

O pedaço da alma do Lorde das Trevas se anexou a Harry porque ele era a única alma viva ali. A varinha de Harry é uma varinha, não uma alma viva, então, mesmo que um pedaço da alma do Lorde das Trevas se partisse de alguma forma, não poderia se ligar à varinha de Harry.

    

Harry encontra contato com horcruxes - o medalhão, o diadema, até mesmo sua própria cicatriz - para ser perturbador, até doloroso. Em menor grau, o contato com varinhas inadequadas também parece errado. ⁽¹⁾

Com esses dois relatos, Harry provavelmente teria sabido se algo estava perigosamente - como ser um horcrux - errado com sua varinha. Já que a varinha mágica de Harry sempre pareceu "certa" para ele, desde o momento em que o escolheu até que o último vestígio de Voldemort deixou Harry, parece que a varinha não foi comprometida.

⁽¹⁾ "[A varinha do blackthorn] parecia intrusivamente desconhecida, como ter a mão de outra pessoa costurada no final do braço." (Relíquias da Morte, capítulo 20: Xenophilius Lovegood)