O texto das regras diz que são as duas coisas. Então é ambos.

Eu posso pensar em duas maneiras razoáveis de ser um cone e ser uma folha fina.

Primeiro, um cone cuja superfície é uma fina camada de chamas corresponde a ambas as descrições. Mas aqui, é difícil explicar por que algo no centro do cone causaria dano (com certeza, calor radiante, mas parece ruim).

Então, com base na geometria, um fino disco de chama que começa na origem e cresce até 15 'quando voa para a "base" do cone combina com todas as descrições da magia e efeito sem contradições.

É um cone

Em dois dos três pontos da descrição da magia, os termos são cone. (1) O cabeçalho da magia tem os seguintes dados.

Burning Hands; 1st-level evocation; Casting Time: 1 action; Range: Self (15-foot cone); Components: V, S; Duration: Instantaneous

Como você nota no texto, ele menciona "cone" e "folha fina" na descrição completa.
Dois votos por cone, um voto por folha.

Duas ou três dimensões?

Na discussão da geometria da magia, encontramos isso em cone :

Cone
A cone extends in a direction you choose from its point of origin. A cone’s width at a given point along its length is equal to that point’s distance from the point of origin. A cone’s area of effect specifies its maximum length. A cone’s point of origin is not included in the cone’s area of effect, unless you decide otherwise (Basic Rules, p. 80)

Enquanto o texto de regras pode parecer uma forma bidimensional em uma grade, a ilustração suporta cone . (Três votos para o cone). Você poderia argumentar que não é um cone tridimensional, mas mais como uma pirâmide truncada ou um triângulo quando jogado em uma grade . Para teatro da mente play? É um cone.

Inglês simples? É um cone . O volume inteiro do cone é necessariamente cheio de chamas? Não claro. Veja a resposta de @Yakks por que isso pode não ser necessário.

A chamada DM é necessária aqui, pois o texto não é claro

O texto das regras chama um cone duas vezes, uma folha fina uma vez. Um DM pode determinar razoavelmente que o cone tridimensional aplica para uma determinada situação como a da questão à qual você se vinculou. Para a maioria das situações, os dois casos tridimensionais e tridimensionais são uma lavagem.

Área ou volume de efeito?

Aumentando a confusão, o texto refere-se ao cone e "área" versus "volume" para o que é queimado ou o que está sujeito ao efeito mágico. Isso pode ser feito para facilitar a compreensão de jogadores e DMs que não são pedantes, e que vêem um feitiço como queimar as mãos, ou como bola de fogo e cone de frio , como sendo sob a classe de feitiços "área de efeito" versus "feitiços de alvo único".

Como @DavidCoffron apontado em um comentário :

"area" in this case refers to the colloquial definition synonymous with region rather than the mathematical definition. The area of effect can have volume

Funcionalmente, é um cone 3D

Enquanto a descrição diz que parece que uma fina camada de chamas é disparada (sendo subjetiva), por qualquer motivo que você queira imaginar, ela afeta todas as criaturas em um cone 3D de 15 pés. Diz que todos eles devem salvar ou receber dano.

As duas afirmações não são realmente contradições, e uma descreve realmente a área atingida e não apenas a forma do efeito visual. Potencialmente, é uma folha fina que se move rapidamente ao redor do cone, ou gira ou passa pela área. Por qualquer motivo que você queira dar sabor, o feitiço cobre um cone de 15 pés.

É uma seção cônica. Mas isso está sendo desnecessariamente complexo. É mais fácil dizer que "Quando o jogo diz 'cone', não significa necessariamente 'cone' no sentido geométrico".

Felizmente para todos nós, no entanto, isso não importa realmente. Em geral, o D & D não rastreia as coisas no eixo Z, portanto, não importa se é um "cone" nesse sentido ou não - a menos que você esteja lidando com um oponente voador extremamente baixo, isso é irrelevante. Felizmente, é fácil reconciliar o aspecto "funcional" de um cone 3D com o fato de que a descrição diz que é uma "folha de chama", assumindo que o rodízio pode "varrer" a folha brevemente sobre toda a área que seria coberta por um cone 3D ou que, mesmo que a chama em si não cubra toda a área, ela está suficientemente QUENTE dentro da área para causar dano.