Acho que você pode estar olhando para a forma errada.
Pelo que entendi, como portador de passaporte dos EUA, você pode gastar até 90 dias em qualquer período de 6 meses no espaço Schengen sem precisar de visto. Consulte Visto para os países europeus para portador de passaporte dos EUA
Para ir além disso, você geralmente precisa de um visto de longa permanência (normalmente na forma de uma permissão de residência) para um país no espaço Schengen. Uma vez em posse disso, você está autorizado a permanecer naquele país pelo tempo que quiser / seu visto permite. As visitas a outros países de Schengen são normalmente cobertas pela sua isenção de visto de passaporte dos EUA, portanto você está limitado a 90 dias em qualquer período de 6 meses no restante do espaço Schengen.
Dependendo do país Schengen para o qual você está se dirigindo, como portador de passaporte dos EUA, pode ser necessário solicitar o visto de longa permanência / residência / autorização de residência antes de sair ou na chegada.
Para a Alemanha, parece que você normalmente faz isso quando está em seus 90 dias. Na verdade, é um processo de duas etapas, primeiro você precisa ir para o Einwohnermeldeamt local com o seu passaporte e comprovante de endereço alemão, para obter um Meldeschein ou um Anmeldebestätigung. Então você pode ir para o Landratsamt com este e vários outros documentos, e obter um Aufenthaltserlaubnis (visto de residência). Veja este site para um bom passo a passo do processo.
Dito isto, a embaixada alemã na América diz em seu site que os americanos podem solicitar um visto de residência permanente antes de chegar à Alemanha, se assim o desejarem. Esta página explica o processo e a documentação exigida, bem como a inscrição forma e taxas. Você precisará entrar em contato com o consulado apropriado para onde você mora (os diferentes cobrem estados diferentes), consulte esta página para saber como identificar o que o cobre e como entrar em contato com eles.