Gandalf é um dos Istari - criaturas praticamente imortais colocadas na terra média para guiar e ajudar seus habitantes. Ele é, portanto, muito longevos e pegou muitos nomes diferentes ou apelidos para diferentes pessoas em diferentes momentos.
Mithrandir é uma frase Sindarin que significa Peregrino Cinzento ou Errante (ref: Tolkein Gateway ). O sindarin é a linguagem cotidiana dos Elfos e, portanto, o nome que Galadriel usa para ele.
Gandalf, ou Gandalf, o Cinzento, ou Gandalf Greyhame, são apenas alguns outros nomes para ele - não acho que nos digam que algum deles é distintamente seu nome. Gandalf parece ser o nome comum usado por Anões e Hobbits para ele na época de O Hobbit, daí o nome que achamos dele como tendo.