Vamos dividir isso em duas partes - obter o visto e usar o visto.
Obter o visto.
Não, você não terá nenhum problema, desde que seu passaporte seja válido no momento da inscrição. Nem a emissão do visto, nem o prazo de validade do visto serão afetados pela expiração do seu passaporte. Mesmo após o vencimento do seu passaporte, o visto ainda será válido - você só precisará apresentar seus passaportes vencidos e novos no momento. Isto é verdade para os cidadãos de qualquer país.
Usando o visto / entrando nos EUA.
Em geral, os EUA exigem que seu passaporte seja válido por pelo menos 6 meses após a data em que você deixará os EUA. Assim, se você estivesse planejando ficar por um mês, seu passaporte precisaria expirar em pelo menos sete meses.
No entanto, há uma lista de países para os quais essa regra não se aplica, conhecida como "Clube dos seis meses". Os cidadãos dos países que estão nessa lista só precisam que seu passaporte seja válido até o momento em que planejam sair do país, e não mais. Você pode encontrar a cópia mais recente dos países nesta lista aqui e, neste momento, Índia está nessa lista, então você é bom.
Observe que, quando você entrar, se seu passaporte tiver validade de menos de 6 meses, você só receberá entrada nos EUA até a data em que o passaporte expirar, não mais. Assim, se você entrasse nos EUA uma semana antes do vencimento do seu passaporte, você só poderia ficar nos EUA por uma semana.
No entanto ...
Dito isto, se tiver tempo, recomendo vivamente a obtenção de um novo passaporte. É provável que você receba um visto de 10 anos, o que significa que em qualquer viagem subsequente aos EUA dentro dos próximos 10 anos, você precisará levar dois passaportes - o atual e o visto. Seria mais sensato obter o visto em um novo passaporte e evitar isso e quaisquer outros possíveis problemas.