Você teoricamente pode ... mas o fogo ainda estaria quente.

Da Sra Weasley dando um brinde ao Sr. Diggory (citado em outra resposta, mas repetido aqui para facilitar a leitura), podemos ver que a cabeça na lareira tem uma presença física.

"Never mind, Amos,” said Mrs Weasley. “Sure you won’t have a bit of toast or anything before you go?”

“Oh go on, then,” said Mr Diggory.

Mrs Weasley took a piece of buttered toast from a stack on the kitchen table, put it into the fire tongs, and transferred it into Mr Diggory’s mouth.

“Fanks,” he said in a muffled voice, and then, with a small pop, vanished.
_{^{– Harry Potter and the Goblet of Fire, Chapter 11 (Aboard the Hogwarts Express)}}

No entanto, o fogo ao redor da cabeça na lareira ainda estava quente. Crookshanks tentou se aproximar de Sirius, mas não por causa do calor do fogo.

“Sirius!’ he said. Harry whipped round. Sirius’s untidy dark head was sitting in the fire again.

‘Hi,’ he said, grinning.

‘Hi,’ chorused Harry, Ron and Hermione, all three kneeling down on the hearthrug. Crookshanks purred loudly and approached the fire, trying, despite the heat, to put his face close to Sirius’s.” - Harry Potter and the Order of the Phoenix, Chapter 17 (Educational Decree Number Twenty-four)

Então, a cabeça tem uma presença física, mas as pessoas não podem simplesmente alcançá-la e tocá-la - elas se queimam.

Umbridge provavelmente transportou apenas a mão dela usando o pó de flúor.

Quando a mão de Umbridge veio através da lareira, parece mais lógico que ela tenha feito isso atingindo um incêndio de pó de flú e transportando apenas sua mão sobre a Rede de Flu, semelhante a como as pessoas podem ficar onde estão e transportar apenas suas cabeças .

‘Number twelve, Grimmauld Place!’ Harry said loudly and clearly. It was one of the most curious sensations he had ever experienced. He had travelled by Floo powder before, of course, but then it had been his entire body that had spun around and around in the flames through the network of wizarding fireplaces that stretched over the country. This time, his knees remained firm upon the cold floor of Umbridge's office, and only his head hurtled through the emerald fire …
_{^{- Harry Potter and the Order of the Phoenix, Chapter 29 (Careers Advice)}}

Pelo que vemos de como funciona o transporte de Flu, parece provável que Umbridge enfiou a mão na lareira e a transportou sozinha.

“Hermione gave a horrified gasp and leapt to her feet, still staring at the fire.

A hand had appeared amongst the flames, groping as though to catch hold of something; a stubby, short-fingered hand covered in ugly old-fashioned rings.

The three of them ran for it. At the door of the boys’ dormitory Harry looked back. Umbridge’s hand was still making snatching movements amongst the flames, as though she knew exactly where Sirius’s hair had been moments before and was determined to seize it.”
_{^{- Harry Potter and the Order of the Phoenix, Chapter 17 (Educational Decree Number Twenty-four)}}

Ela provavelmente poderia ter puxado Sirius pela Rede de Flu.

Parece provável que, se ela tivesse conseguido agarrar Sirius (sua mão estando em um fogo de Floo, e não uma quente), ela seria capaz de puxar o resto dele através da Rede de Flu de a sua cabeça.

Os sinais apontam para sim .

Sabemos que as pessoas que se comunicam através da Rede Floo podem ser fisicamente tocadas. Um exemplo é quando a Sra. Weasley dá ao Sr. Diggory um brinde:

"Never mind, Amos,” said Mrs Weasley. “Sure you won’t have a bit of toast or anything before you go?”

“Oh go on, then,” said Mr Diggory.

Mrs Weasley took a piece of buttered toast from a stack on the kitchen table, put it into the fire tongs, and transferred it into Mr Diggory’s mouth.

“Fanks,” he said in a muffled voice, and then, with a small pop, vanished.

_{– Harry Potter and the Goblet of Fire, Chapter 11 (Aboard the Hogwarts Express)}

Agora, se a cabeça do Sr. Diggory fosse apenas algum tipo de aparição ou holograma, então tal façanha teria sido impossível. Como a cabeça dele era corpórea, a Sra. Weasley poderia presumivelmente ter se abaixado e agarrado a cabeça dele, caso ela desejasse fazê-lo.

_{Além disso, em Relíquias da Morte , um Comensal da Morte conseguiu agarrar Harry, Rony e Hermione enquanto usavam a Rede de Fluorescência para deixar o ministério. Eu sei que isso não é exatamente a mesma coisa, mas parece pelo menos um pouco relevante - reforçando a natureza corpórea da Rede de Flu.}