Um visto de entrada única será suficiente, se eu entender seu itinerário corretamente. Você entrará no espaço Schengen uma vez, quando viajar de Birmingham para a Itália. Você então viajará da Itália para a Áustria, permanecendo no espaço Schengen. Você então viajará para a Irlanda, saindo do espaço Schengen.
Como o restante de sua viagem é totalmente fora do espaço Schengen, o visto de entrada única é suficiente.