Não. Armas brancas improvisadas não são armas brancas.
Conforme esta decisão de Jeremy Crawford:
If a game feature says it works with a melee weapon, it means an actual melee weapon.
Outra decisão esclarece que o uso de uma arma de longo alcance como arma improvisada não o torna uma arma branca:
The act of throwing a melee weapon doesn't transform it into a ranged weapon. Melee and ranged are categories of weapons in the rules. Similarly, whacking someone with a longbow doesn't transform it into a melee weapon.
Como a pergunta observa, as regras de Combate com Duas Armas só são acionadas com armas brancas:
When you take the Attack action and attack with a light melee weapon that you’re holding in one hand [...]
Portanto, você não pode usar duas armas brancas improvisadas para acionar o combate de duas armas. Seu mestre, é claro, é livre para decidir de outra forma, se faz sentido.