Eu obtenho uma variação da relação de planeio com $ \ frac {2} {\ cos \ varphi} \ bigr)} $ para círculos que voam com um ângulo de banco de $ \ varphi $ quando comparado ao vôo direto na respectiva melhor velocidade para L / D ideal.
Suas suposições iniciais estão corretas:
Aumentar: $ L = c_L \, \ rho \, \ frac {v ^ 2} {2} \, S \, n_z $
Fator de carga: $ n_z = \ frac {1} {\ cos \ varphi} $ com o ângulo de banco $ \ varphi $
Arraste: $ D = D_0 + D_i = \ Bigl (c_ {D0} + \ frac {c_L ^ 2} {\ pi \, AR \, \ varepsilon} \ Bigr) \, \ rho \, \ frac { v ^ 2} {2} \, S $ (arrastar de zero levantar + arrastar induzido) e ambos são iguais no melhor $ L / D $:
$$ \ Bigl (\ frac {L} {D} \ Bigr) _ {\ rm opt} = \ Bigl (\ frac {c_L} {c_D} \ Bigr) _ {\ rm opt} = \ frac { \ pi \, AR \, \ epsilon} {2 \, c_L} \ text {para vôo direto em} 1 \, g \ text {($ n_z = 1 $)}. $$
Agora com fator de carga $ n_z = n $ e velocidade inalterada:
$$ \ frac {L_ {ng}} {D_ {ng}} = \ frac {\ frac {c_ {L_ {1 g}}} {\ cos \ varphi}} {\ frac {c_ {L_ {1 g} }} ^ 2 \ bigl (1 + \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ varphi} \ bigr)} {\ pi \, AR \, \ epsilon}} = \ frac {\ pi \, AR \, \ varepsilon} {c_ {L_ {1g}} \ bigl (\ cos \ varphi + \ frac {1} {\ cos \ varphi} \ bigr)}. $$
A razão entre as duas proporções é $ \ frac {2} {\ cos \ varphi} \ bigr)} $, o que faz sentido porque se tornará 1 para $ \ varphi = 0 $ e se torne menor que 1 para valores diferentes de $ \ varphi $. Note que a razão de planeio em n g não carrega mais um subscrito "opt", porque ao aumentar $ c_L $ nos afastamos do ótimo. Se a melhor L / D for mantida para voar em vôo, a velocidade precisaria aumentar, não o coeficiente de sustentação.
A perda de altitude em vôo direto de uma distância igual ao diâmetro de um círculo com o raio $ R = \ frac {v ^ 2} {g \ tan \ varphi} $ é $ 2 \, \ pi \, R \ , \ frac {D} {L} $. Quando voada no ângulo correto do banco, essa perda de altitude por círculo $ \ Delta h $ se tornará $$ \ Delta h = \ frac {\ pi \, v ^ 2} {g \ tan \ varphi} \ Bigl (\ frac {D} {L} \ Bigr) _ {1g} \ Bigl (\ cos \ varphi + \ frac {1} {\ cos \ varphi} \ Bigr). $$
Gráfico da relação de planeio com o ângulo do banco dividido pela relação de planeio para vôo direto (linha azul). Eu também adicionei a perda de altitude para um círculo completo (linha vermelha, Base: $ L / D = 18 $ a 100 $ \, $ m / s em vôo direto), ambos para voo a velocidade constante e coeficiente de levantamento constante:
Use os resultados deste gráfico com cautela em ângulos de banco mais altos: o elevador precisaria dobrar em um ângulo de 60 °, dobrando $ c_L $, então voaríamos muito mais lentamente do que qualquer piloto faria. A linha vermelha dá valores mais realistas, já que aqui a aeronave acelera para voar ângulos de banco mais altos. Voar a uma velocidade constante dá menos perda de altitude simplesmente porque o círculo se torna menor do que quando voa a $ c_L $ constantes. Observe que, para cada medidor voado, a altitude perdida é maior quando voando a uma velocidade constante, indicada pela curva de degradação da relação de planeio azul.
Dois fatores conspiram para aumentar as perdas aerodinâmicas ao voar em velocidade constante com ângulos de banco mais altos:
- Você precisa criar mais sustentação, o que causa maior arrasto induzido e
- O seu melhor $ L / D $ está a uma velocidade maior quando o ângulo do banco aumenta, o que aumenta novamente as perdas aerodinâmicas porque você se afasta do ótimo.
Se você tentar expressar a perda de altitude por círculo $ \ Delta h $ em função de $ \ varphi $, você obterá uma equação quadrática e duas soluções, um alto e um baixo ângulo de banco: $$ \ frac {\ cos ^ 2 \ varphi + 1} {\ sin \ varphi} = \ frac {g \, \ Delta h} {\ pi \, v ^ 2} \ Bigl (\ frac {L} {D } \ Bigr) _ {1g}. $$ Talvez o MathSE possa resolver isso algebricamente; Eu recorreria à iteração ou tabulação aqui.