Assumindo que sua família é cidadã ucraniana; o voo de partida sai no mesmo dia ou no dia seguinte; você está voando de / para os EUA com vistos válidos, então você deve se qualificar para o trânsito sem visto.
Consulte o site para vistos do governo do Reino Unido para obter detalhes completos.
Note que sua família pode ser impedida de entrar pelos guardas de fronteira se considerar que há um problema. A maneira de evitar isso é solicitar vistos antes de viajarem, mas acho que você não tem tempo para isso agora.
Boa sorte!