Scrimgeour fez certas coisas na tentativa de parar o Lorde das Trevas.

Embora o Ministério tenha caído enquanto Scrimgeour estava no poder, ele ainda tentou parar o Lorde das Trevas mais do que Fudge. Fudge negou que o Lorde das Trevas tivesse retornado até que o próprio Lorde das Trevas aparecesse no prédio do Ministério, e depois disso fosse removido do cargo. Embora o Ministério tenha caído para o Lorde das Trevas, Scrimgeour pareceu agir, pelo menos quando ele se tornou Ministro. Por exemplo, ele montou vários novos escritórios relacionados ao Lord das Trevas subindo ao poder, o que é conhecido por ser verdade, já que Arthur Weasley era o chefe de um deles.

“Yes, Rufus Scrimgeour has set up several new offices in response to the present situation, and Arthur’s heading the Office for the Detection and Confiscation of Counterfeit Defensive Spells and Protective Objects.”
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 5 (An Excess of Phlegm)}}

Dumbledore também pensa mais na capacidade de Scrimgeour de lidar com a situação do que Fudge, embora discorde do Ministério tentando convencer Harry a falar em seu nome.

“Is he … do you think he’s good?’ asked Harry.

‘An interesting question,’ said Dumbledore. ‘He is able, certainly. A more decisive and forceful personality than Cornelius.’

‘Yes, but I meant –’

‘I know what you meant. Rufus is a man of action and, having fought Dark wizards for most of his working life, does not underestimate Lord Voldemort.”
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 4 (Horace Slughorn)}}

Além disso, Scrimgeour fez o Ministério ajudar a contribuir para a proteção de Hogwarts.

“Newly appointed Minister for Magic, Rufus Scrimgeour, spoke today of the tough new measures taken by his Ministry to ensure the safety of students returning to Hogwarts School of Witchcraft and Wizardry this autumn.

‘For obvious reasons, the Ministry will not be going into detail about its stringent new security plans,’ said the Minister, although an insider confirmed that measures include defensive spells and charms, a complex array of counter-curses and a small task force of Aurors dedicated solely to the protection of Hogwarts School.”
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 3 (Will and Won’t)}}

Isso é diferente de Fudge, já que Fudge passou seu tempo como ministro, mostrado nos livros, negando que o Lorde das Trevas ainda estava vivo e ganhando poder. Scrimgeour não ignorou o que estava acontecendo e tomou medidas para impedi-lo, embora alguns deles não tenham tido sucesso.

Ele perdeu o controle do Ministério como seus funcionários eram Imperiused.

Scrimgeour parecia um pouco menos proativo quando o Ministério começou a cair para o Lorde das Trevas, mas como não há nenhuma maneira conhecida de um mago reverter a Maldição Imperius em outra pessoa, ele não podia fazer nada sobre os funcionários do Ministério que já tinha sido Imperiused. O Lorde das Trevas se certificou de encher o Ministério com pessoas Imperiosas antes de tentar matar Scrimgeour, e Scrimgeour provavelmente não conseguiu impedir que os outros no Ministério fossem Imperiados.

“It will, I think, be easy, now that we have such a high-ranking official under our control, to subjugate the others, and then they can all work together to bring Scrimgeour down.’

‘As long as our friend Thicknesse is not discovered before he has converted the rest,’ said Voldemort.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 1 (The Dark Lord Ascending)}}

Uma vez que o Lorde das Trevas foi capaz de fazer com que seus Comensais da Morte colocassem a Maldição Imperius em alguns oficiais do Ministério, foi fácil para eles fazer com que aquele oficial colocasse a Maldição Imperius em outros oficiais. Além disso, como uma Maldis Maldis bem executada é difícil de detectar, Scrimgeour pode não saber até que seja tarde demais e o Ministério já estava fora de seu controle.

Scrimgeour era um auror experiente.

Em Príncipe Mestiço Dumbledore e Harry falam sobre Scrimgeour.

"He has been replaced, as I am sure you also saw, by Rufus Scrimgeour, Who used to be Head of the Auror office."
"Is he... Do you think he's good?" asked Harry.
"An interesting question," said Dumbledore. "He is able, certainly. A more decisive and forceful personality than Cornelius."
"Yes, but I meant -"
"I know what you meant. Rufus is a man of action and, having fought Dark wizards for most of his working life, does not underestimate Lord Voldemort."
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 4 (Horace Slughorn)}}

Além disso, Cornelius Fudge não aceitou que Voldemort estivesse de volta até que ele mesmo o visse, essa desconfiança não estava ajudando a comunidade bruxa.

"Cornelius, I am ready to fight your men - and win again!" said Dumbledore in a thunderous voice. "But a few minutes ago you saw proof, with your own eyes, that I have been telling you the truth for a year. Lord Voldemort has returned, you have been chasing the wrong men for twelve months, and it is time you listened to sense!"
_{^{- Harry Potter and the Order of the Phoenix, Chapter 36 (The Only One He Ever Feared)}}

Além disso, Scrimgeour tomou medidas contra Lord Voldemort, ele montou vários novos escritórios no Ministério.

"Yes, Rufus Scrimgeour has set up several new offices in response to the present situation, and Arthur's heading the Office for the Detection and Confiscation of Counterfeit Defensive Spells and Protective Objects. It's a big jog, he's got ten people reporting to him now!"
_{^{- Harry Potter and the Half-Blood Prince, Chapter 5 (An Excess of Phlegm)}}

O Ministério caiu enquanto estava sob a ordem de Scrimgeour porque Voldemort estava perto do auge de seu poder.

Voldemort tinha muito mais poder quando Scrimgeour estava no controle do que quando Fudge estava, Voldemort tinha acabado de reencarnar um ano antes do saque de Fudge e não estava realmente tomando nenhuma ação ofensiva ainda. Quando Scrimgeour ocupou o cargo de membro do Ministério Voldemort Imperiused e foi assim capaz de assumir o controle do Ministério.

"It is a start," said Voldemort. "But Thicknesse is only one man. Scrimgeour must be surrounded by our people before I act. One failed attempt on the Minister's life will set me back a long way."
_{^{- Harry Potter and The Deathly Hallows, Chapter 1 (The Dark Lord Ascending)}}

Para mim, esta citação implica que eles tinham acabado de começar a trabalhar no ministério no Livro 7, então podemos ver que Fudge não teve que lidar com movimentos drásticos de Voldemort, mas Scrimgeour fez isso.

Não temos provas reais sobre o que ele fez

Como os livros são escritos com o POV de Harry, não sabemos quais medidas foram tomadas pelo Ministério. Nós só sabemos as medidas básicas que até mesmo os bruxos menores de idade saberão, como o folheto mencionado no Livro 6, Capítulo 3- Vontade e Não . Não sabemos as medidas para as famílias mágicas como o apenas um mostrado é o Weasleys, e eles são um caso especial por causa de Harry e do fato de que eles são parte da Ordem.

Como já mencionado na resposta de @ Bellatrix, Rufus Scrimgeour é considerado uma personalidade "capaz" e "strong" por Dumbledore, então pode-se supor que ele fez alguns esforços para proteger a população bruxa.

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Ele tenta descobrir o que Dumbledore quer que Harry faça

** Após a morte de Dumbledore, Scrimgeour parece parar de cuidar do funcionamento diário do Ministério (o que pode ser o motivo de ele não conseguir evitar a queda). Mas isso não é porque ele desiste. Por outro lado, ele faz o palpite (parcialmente) correto de que a chave para derrotar Voldemort diz respeito aos legados de Dumbledore para o trio. E é por isso que ele tenta decifrá-lo por si mesmo, porque naturalmente sente que esta será uma tarefa melhor tratada por aurores experientes e não adolescentes.

Além disso, como um aparte, o Ministério cai rapidamente porque não existe uma maneira fácil de detectar uma maldição Imperius e a maioria de seus esforços é dirigida para fora do Ministério, não dentro dela. Além disso, quando você diz que o ministério da magia cai para os Comensais da Morte "rapidamente" você não está levando em conta o fato de que Voldemort retornou no final do livro 4. Então ele tinha cerca de 2 anos para lançar seus planos para se infiltrar no ministério e durante 1 ano deste tempo, o ministério estava inconsciente ou, na melhor das hipóteses, em conflito sobre o fato de seu retorno. Ao longo dos livros 5 e 6, não estamos cientes dos movimentos dos Comensais da Morte.