Eu morei em Java e estou morando em Bali, apenas para referência.
Is Bali/Gili/Lombok the best choice for us to travel to instead of the more islamic Java?
Isso depende. Eu gosto de Bali para viver, mas como um destino turístico é completamente diferente da experiência de Java. Em Bali, espere turismo de massa e todas as coisas que vêm com isso, como vendedores ambulantes e guias superfaturados. Isso vai ainda mais para os Gilis, onde os estrangeiros provavelmente superam os locais. Lombok ainda está mais quieto. Mas tão islâmico quanto Java, ou mais. Os Gilis são oficialmente parte de Lombok, mas são tão turísticos que não importa.
Eu também não vejo por que o Islã deveria impedi-lo de visitar, mas você pode ter que usar mais restaurantes turísticos durante o dia durante o Ramadã em Java ou Lombok, ou fazer um lanche em algum lugar calmo.
How is public transport on these islands during Ramadan and the holiday-week after?
Em Java, há transporte público, para trens que às vezes você precisa reservar com antecedência, mas não tanto, talvez alguns dias. A semana de férias pode ser mais cheia do que o normal, mas eu realmente não acho que será impossível encontrar algo, contanto que você reserve com vários dias de antecedência! As opiniões variam, portanto, se você quiser ter certeza absoluta, basta reservar mais à frente. Há trens, ônibus e vans particulares semi-compartilhadas indo de um lugar para outro. Você pode até voar de praticamente qualquer cidade para outra, mas os voos podem ser caros na época.
Em Bali quase não há transporte público para falar, como os Gilis e Lombok, mas os Gilis são pequenos o suficiente para não precisarem. Você precisará obter transporte particular ou alugar uma moto para os outros.
Do we need to book our accomodations/transport in advance for these islands?
Não, não nessa época, há muitas alternativas, mesmo que sua escolha seja completa.