Coisas que acabam com a Concentração, conforme a página 203 do PHB:

• Casting another spell that requires concentration.

• Failing the constitution saving throw when you take damage.

• Being incapacitated or killed.

• Environmental phenomena, at the DMs discretion.

Note que as regras não dizem que apenas "lançando uma mágica" quebra a concentração, apenas "lançando outra magia que requer concentração" faz.

Portanto, você pode lançar feitiços sem concentração sem perder a concentração em outro feitiço.

You lose concentration on a spell if you cast another spell that requires concentration. You can’t concentrate on two spells at once.

Se a magia não requer concentração, não termina o primeiro feitiço.

Normalmente, apenas lançar outra magia que não requer concentração não quebra a primeira magia. Mas você deve prestar atenção aos detalhes (como sempre). Se você preparar a segunda magia, por exemplo (para deixar os efeitos da magia acontecer em um gatilho específico), isso requer concentração e quebra a primeira magia, mesmo que a segunda magia em si não exija concentração. É a ação Ready que faz, no entanto.

Diz assim na página. 193 do PHB em "Pronto", último parágrafo:

To be readied, a spell must have a casting time of 1 action, and holding onto the spell's magic requires concentration (explained in chapter 10).

Embora todos os casos sejam tratados em todas as respostas e comentários, não há uma resposta definitiva até o momento, incluindo todos eles, então eu vou ter a liberdade de agrupar tudo.

Sim, com as seguintes exceções

Enquanto se concentra em um feitiço, lançar outra magia é permitido, com as seguintes exceções:

• lançando outro feitiço que requer concentração (PHB p. 203 - Concentração)

  You lose concentration on a spell if you cast another spell that requires concentration. You can’t concentrate on two spells at once.

• preparando um feitiço (PHB p. 193 - Pronto)

  To be readied, a spell must have a casting time of 1 action, and holding onto the spell's magic requires concentration (explained in chapter 10).

• conjurando uma mágica com um tempo de lançamento maior que 1 ação (PHB p. 202 - Tempos de conjuração mais longos)

  When you cast a spell with a casting time longer than a single action or reaction, you must spend your action each turn casting the spell, and you must maintain your concentration while you do so (see “Concentration” below).