Mais ou menos.
Os Três Anéis Élficos são anotados em Dos Anéis de Poder e na Terceira Era como tendo sido feitos por último, e Sauron não teve parte em sua criação (apesar do que eles ainda estavam sujeitos ao dominação do Um):
Now these were the Three that had last been made, and they possessed the greatest powers. Narya, Nenya, and Vilya, they were named, the Rings of Fire, and of Water, and of Air, set with ruby and adamant and sapphire; and of all the Elven-rings Sauron most desired to possess them, for those who had them in their keeping could ward off the decays of time and postpone the weariness of the world. But Sauron could not discover them, for they were given into the hands of the Wise, who concealed them and never again used them openly while Sauron kept the Ruling Ring. Therefore the Three remained unsullied, for they were forged by Celebrimbor alone, and the hand of Sauron had never touched them; yet they also were subject to the One.
Então são os três, e é assim que eles foram significativos, mas e os outros?
Uma coisa importante sobre os outros é que na verdade não há nada em Tolkien para indicar que os poderes dos nove são diferentes dos poderes dos Sete; em vez disso, o que os diferencia é a espécie a que foram entregues, com um Anel de Poder tendo um efeito diferente sobre um Homem no efeito que tem sobre um Anão.
Em relação ao número dado a cada espécie, há uma nota no material de Galadriel e Celeborn em Contos Inacabados da seguinte forma:
There Sauron took the Nine Rings and other lesser works of the Mírdain; but the Seven and the Three he could not find. Then Celebrimbor was put to torment, and Sauron learned from him where the Seven were bestowed.
Então os Nove Anéis que Sauron deu aos Homens foram apenas os nove primeiros que ele havia capturado, e depois de ter encontrado onde os Anéis restantes (excluindo os Três) estavam localizados, esses foram os que ele deu aos Anões.
Portanto, os números que ele deu para cada um dos Homens e Anões parecem ter sido baseados na ordem em que Sauron os capturou - primeiro os Nove, depois os Sete - e não muito mais.
Há mais espaço para algumas especulações interessantes que provavelmente vale a pena mencionar para afastar as perguntas de acompanhamento. Sabemos que havia três casas de elfos e sete casas de anões, que combinam com o número de anéis que cada um tinha. Havia também nove casas de Homens (no total, incluindo os três dos Edain que sabemos com certeza)? Não há nada em Tolkien para sugerir isso.