Esta página detalha dois tipos diferentes de reparos higiênicos de alto nível:
Unscrew and remove the knob from the end of the rod that goes through the top of the tank cover. Spray lubricant on the rubber grommet that seals the rod where it goes into the hole in the cover. 2
Push down on the end of the rod as you lift up the cover. Take the cover off the tank. If necessary, lift up the cover enough to grip the rod at the underside of the cover, using vice grips. Lift up on the cover and pull the rod out of the grommet. Set the tank cover aside. 3
Fit the vice grips onto the rod and rotate the rod a bit each way several times as you pull upward. In some cases, mineral deposits can build up and prevent the rod from pulling upward. If the toilet flushes, reattach the tank cover in the reverse order and screw on the knob. Alternatively, if the toilet doesn't flush, enlist a plumber to install a new flush valve and rod mechanism.
A citação acima é para a versão "ativada por haste".
Você mencionou que o botão é resistente - tente usar um óleo penetrante nele, isso pode ajudar. Parece que a haste fica dentro desse botão ... Também parece implicar que você teria que puxar para que funcionasse (o seu não parece ser o tipo de botão).