Você quer uma tabela que modela probabilidades "empilhadas".
Por exemplo, se a chance de sucesso de qualquer tentativa individual for de 40%, sua tabela poderá ficar assim:
\ begin {array} {cc} n \ text {para sucesso} & \ text {d} 100 \ text {roll} \\ \ hline 1 & 01-40 \\ 2 & 41-64 3 & 65-78 4 & 79-87 5 & 88-92 \ 6 & 93-95 \\ 7 & 96-97 8 & 98 \\ 9 & 99 \\ 10 & 100 \\ \ end {array}
Mas como você gera essa tabela?
Dada a probabilidade \ $ p \ $ de sucesso em qualquer tentativa, então a probabilidade de suceder em a tentativa \ $ n ^ \ text {th} \ $ é dada por $$ P (n) = (1-p) ^ {n-1} \ cdot p $$Isso porque, para ter sucesso na tentativa \ $ n ^ \ text {th} \ $, devemos primeiro falhar , com uma probabilidade \ $ (1-p) \ $, \ $ n-1 \ $ times, então tem sucesso (com probabilidade \ $ p \ $).
Assim, no exemplo acima, vemos que \ begin {align *} P (1) & = p = 0,4 \ P (2) & = (1-p) \ cdot p = 0,24 \ P (3) & = (1-p) ^ 2 \ cdot p \ approx0.14 \\ P (4) & = (1-p) ^ 3 \ cdot p \ aproximadamente 0,09 \\ \ vdots \ quad & \ hspace {2cm} \ vdots \ end {align *}
Mas para empilhar as probabilidades reconhecemos que os "pontos de quebra" - o maior número em cada um dos intervalos percentuais - são dados pela soma de todas as probabilidades até o \ $ n ^ \ text {th} \ $. Felizmente, isso é apenas uma série geométrica: $$ \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} {(1-p) ^ i} = \ frac {1- (1-p) ^ n} {p} $$
Com isso em mãos, é fácil gerar uma tabela de "pontos de interrupção" para qualquer dado \ $ p \ $:
\ begin {array} {c | ccccccc} & \ text {d} 100 \ text {roll} \\ n \ text {para sucesso} & p = 0,1 & p = 0,2 & p = 0,3 & p = 0,4 & p = 0,5 & p = 0,6 & p = 0,7 \\ \ hline 1 & 01-10 & 01-20 & 01-30 & 01-40 & 01-50 & 01-60 & 01-70 \\ 2 & 11-19 & 21-36 & 31-51 & 41-64 & 51-75 & 61-84 & 71-91 \\ 3 & 20-27 & 37-49 & 52-66 & 65-78 & 76-88 & 85-94 & 92-97 4 & 28-34 & 50-59 & 67-76 & 79-87 & 89-94 & 95-97 & 98-99 \\ \ hline 5 & 35-41 & 60-67 & 77-83 & 88-92 & 95-97 & 98-99 & 100 \\ 6 & 42-47 & 68-74 & 84-88 & 93-95 & 98 & 100 \\ 7 & 48-52 & 75-79 & 89-92 & 97-97 & 99 \\ 8 & 53-57 & 80-83 & 93-94 & 98 & 100 \\\ hline 9 & 58-61 & 84-87 & 95-96 & 99 & \\ 10 & 62-65 & 88-89 & 97 & 99 & \\ 11 & 66-69 & 90-91 & 98 & 100 & \\ 12 & 70-72 & 92-93 & 99 & & \\\ hline 13 & 73-75 & 94-95 & 99 & & \\ 14 & 76-77 & 96 & 99 & & \\ 15 & 78-79 & 96 & 100 & & \\ 16 & 80-81 & 97 & & & \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ \ end {array}
Notas:
1. Em alguns lugares, o mesmo número único aparece duas vezes. ( p = 0.2, n = 14,15, por exemplo.) Nestes casos, múltiplos pontos de quebra arredondam para o mesmo valor percentual. Você pode escolher aleatoriamente entre os valores n se isso for feito, simplesmente pegue o menor, ou crie algum outro esquema.
2. Obviamente, há uma probabilidade diferente de zero de que o sucesso levaria mais tempo do que eu indiquei, terminando minhas tabelas na primeira aparição de um valor de 100 por cento arredondado. No entanto, por construção, há menos de 1/2% de chance de que qualquer n maior que a última apresentada possa ocorrer. Eu me senti bem deixando a cauda longa fora da mesa.
