Não, você não pode.
A regra de garra diz que você pode mover um alvo que está atacando.
Moving a Grappled Creature. When you move, you can drag or carry the grappled creature with you, but your speed is halved, unless the creature is two or more sizes smaller than you.
Mas isso se aplica apenas a você e ao seu movimento.
Em dnd-5e seu movimento é completamente separado do movimento das montarias. Até tem o seu próprio turno, você só pode controlar onde ele se move.
The initiative of a controlled mount changes to match yours when you mount it. It moves as you direct it, and it has only three action options: Dash, Disengage, and Dodge.
Assim, o movimento de montarias não permitirá que você mova a criatura agarrada e conte como um efeito que remove a criatura agarrada de seu alcance.
The condition also ends if an effect removes the grappled creature from the reach of the grappler or grappling effect, such as when a creature is hurled away by the thunderwave spell.