Sempre que eu comprei itens que usam refrigerante, o manual sempre recomenda deixá-lo em repouso. Os tempos variaram de 1 a 24 horas. O manual diz que isso é para deixar o refrigerante resolver após o trânsito.
Existe óleo misturado com o refrigerante que lubrifica o compressor. Se ele cair ou virar de cabeça para baixo, o refrigerante pode se mover para outras partes do sistema. Se você ligar o ar condicionado nesta condição, ele poderá não funcionar ou até mesmo danificar a unidade. Coloque-o na posição correta e aguarde 24 horas antes de usá-lo. Realisticamente menos de uma hora deve ser bom, mas a maioria dos manuais recomenda 24 horas para ser seguro.
Então não. Mover o ar condicionado de cabeça para baixo não o danificará. Se você tentar executá-lo logo após ele estar de cabeça para baixo, isso pode danificá-lo.