A resposta depende um pouco de qual aeroporto você está voando e se você está fazendo vôos internacionais ou domésticos.
Pessoalmente, eu iria encontrar um quarto e dormir um pouco. Há muitas opções econômicas de hotéis nas proximidades do Aeroporto Suvarnabhumi, a maioria com serviço de transporte. Don Muang Airport também tem alojamento nas proximidades, embora suas escolhas são consideravelmente menos.
Enquanto Bangkok está ativa a noite toda, não é realmente uma cena orientada para o turista depois da meia-noite. A maioria das atividades gira em torno de clubes e bares (embora nem toda a prostituição orientada como MikkaRin indicou, muitas discotecas e locais para beber depois do horário preferido pelos jovens tailandeses). Há alguns mercados noturnos e vendedores de comida de rua. Mas como um todo vagando por Bangkok sem uma idéia de onde você está indo às 2 da manhã não é a melhor idéia.
Você encontrará transporte público do aeroporto para a cidade, quando chegar à noite. Mas voltar ao aeroporto será limitado a táxi, já que muitas rotas de ônibus e o SkyTrain podem não começar cedo o suficiente para você chegar lá por um vôo às seis da manhã (doméstico ou internacional).