Qual é o filme que está sendo reproduzido na TV no Logan e qual é a sua conexão com o filme?

É o filme ocidental de 1953, Shane .

Confirmado em thrillist.com também

E o diálogo completo foi:

Shane: I gotta be going one.

Joey: Why, Shane?

Shane: A man has to be what he is, Joey. Can't break the mould. I tried it and it didn't work for me.

Joey: We want you, Shane.

Shane: Joey, there's no living with... with a killing. There's no going back from one. Right or wrong, it's a brand. A brand sticks. There's no going back. Now you run on home to your mother, and tell her... tell her everything's all right. And there aren't any guns in the valley.

Fonte: geekendgladiators.com

E aqui está o vídeo para essa cena específica:

De usatoday.com

Mangold mentioned the 1953 Western Shane, the story of a tired gunfighter (Alan Ladd) who falls in with a boy and his family. That movie would influence the core relationship between Logan and Laura, who are both distrustful of the other but find common ground.

And if it was Jackman’s goodbye to Logan, Mangold thought it should definitely explore the hero’s biggest fear: “Is he frightened of villains? No. Aliens? No. Galactic destruction? No. His own demise? No. But he is scared of love.”

Até mesmo Mangold tem um gosto pessoal pelo filme, que está claro no seu velho tweet .

    

Como outros já responderam, o filme em questão é "Shane".

Acredito que uma conexão com o filme é que, de várias maneiras, "Logan" é um filme mais ocidental do que um filme de super-herói. Tem muitos dos elementos padrão que você viu em um velho oeste, como vingança, redenção, proteção de inocentes contra uma força invasora. Logan não quer ser um homem violento, mas é forçado pelas circunstâncias dele. Ele é basicamente o "herói sem nome" do western clássico. Heck, jogue fora o adamantium e volte o relógio 200 anos, e é um western. Adicionando o clipe de "Shane" foi o diretor wink-and-a-smile reconhecendo isso.