Eu estou morando na Nova Zelândia, o que eu posso ver da minha experiência se sua empresa é baseada na Europa e você vem para a NZ com um visto de turista / visitante e você trabalha remotamente com seu computador para aquela empresa então, não t ser qualquer problema.
Agora, o problema é que se você vier para a Nova Zelândia e estiver tentando trabalhar para uma empresa da Nova Zelândia e / ou fazendo algum trabalho como freelancer aqui, precisará de um visto de trabalho e terá que pagar impostos.
Site da Imigração de NZ: link