Depende de como você é paranóico.
Tecnicamente: Sim, você deve usar um utensílio diferente quando a carne estiver cozida. Qualquer contato com carne crua carrega um risco de contaminação, e você não pode garantir que o utensílio seja aquecido o suficiente para "cozinhá-lo".
Se você quiser ser o mais seguro possível, inverta a ordem de cozimento que estiver usando - frite os legumes primeiro, coloque-os para o lado, cozinhe a carne, misture os vegetais novamente e use um Utensílio fresco para terminar (ou lavar o atual). Isso garante que os legumes e o segundo utensílio só tenham contato com carne cozida.
Pessoalmente? Eu não me preocupo com isso além do óbvio - eu me certifico de lavar o utensílio em algum lugar com água quente (e geralmente com sabão), mergulhá-lo no líquido de cozinha por um tempo, se aplicável, etc. Não é o mais seguro maneira de fazer as coisas, mas consegue um bom equilíbrio (para mim) entre risco e conveniência. YMMV, obviamente.