Você precisa de um visto para nenhum dos países porque é cidadão de cada um.
Quando você entra em um país, para não precisar de visto, você mostra o passaporte desse país .
No seu caso, ao chegar à Arábia Saudita, você lhes mostra o passaporte saudita. Ao chegar ao Reino Unido, digamos que depois de voltar, mostre-lhes o Reino Unido. Você obviamente precisa ter os dois com você, mas você sempre mostra um a qualquer momento.
É possível haver exceções legais, mas isso funciona na maior parte do mundo. Para a Arábia Saudita, que não dá visto para turistas, você praticamente não tem escolha.